【CF679D】Bear and Chase
题意：近日，鼠国的头号通缉犯，神出鬼没的怪盗——Joker正于摩登市出没！对于名侦探Jack来说，这正是将其捉拿归案的大号时机。形式化地，摩登市可以看成一张 $n$ 个点，$m$ 条边的简单无向连通图。Jack有一个神奇的探测器：MC（Mouse Chaser）。当Jack在某个城市使用MC时，MC会显示Joker所在城市与Jack所在城市之间的距离（即最短路所经过的边数）。Jack只有两天的时间捉拿Joker，具体过程如下：
1.第一天，Joker随机潜伏在某个城市，即Joker位于每个城市的概率都是 $1over n$ 。Jack将挑选一个城市 $a$ ，在 $a$ 处使用MC，得知Joker所在城市与 $a$ 的距离。然后Jack可以选择立刻调查某个城市：如果Joker正好位于被调查的城市，则Jack成功地将Joker捉拿归案（如果Joker刚好位于城市 $a$ ，那么MC会显示 $0$ ，显然Jack直接调查城市 $a$ 就能直接将Joker捉拿归案）；否则，Joker会意识到自己正被追查，从而立刻逃离摩登市，导致Jack的任务直接失败！
2.如果第一天没有立刻调查。那么在夜里，Joker会随机选择一个与Joker所在城市相邻的城市，并前往该城市。即如果有 $d$ 个城市与Joker所在城市相连，则Joker有 $1over d$ 的概率前往其中的每个城市。
3.第二天，Jack将挑选一个城市 $b$ ，在 $b$ 处使用MC（忽略Jack从 $a$ 前往 $b$ 的时间），得知Joker所在城市与 $b$ 的距离。然后Jack必须选择一个城市进行调查。如果Joker刚好位于被调查的城市，则Jack成功的将Joker捉拿归案；否则，Jack的任务失败。
现在，请你帮助Jack，制定合适的追捕计划，选择前往调查的城市，使得Jack将Joker捉拿归案的概率最大。输出这个最大的概率。
$2le nle 400,n-1le mle {n(n-1)over 2},1le x,yle n$
题解：先考虑暴力的解法。我们枚举两次使用MC的城市a和b，然后用f[i][j]表示第一天显示i，第二天显示j的概率。我们得到f[i][j]后，用f数组求出g[i]表示第一天在a使用MC显示i的最大概率，进而得到在a使用MC的最大总概率。这样做的复杂度显然是$O(n^4)$的。
但是我们发现，如果我们枚举了第一天可能的位置x，则i=dis[a][x]，j只能等于dis[b][x]-1,dis[b][x],dis[b][x]+1。我们可以进行一些预处理，然后复杂度就降到$O(n^3)$了。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef double db;
int n,m,now;
int f[410][410],pa[100000],pb[100000],d0[410][410],d1[410][410],d2[410][410],d[410],vis[410][410],cnt[410];
db s0[410][410],s1[410][410],s2[410][410],p[410][410],s[410];
vector<int> v[410];
vector<int>::iterator it;
db tmp,ans;
inline void upd(db &x,db y) {if(x<y) x=y;}
inline void upd(int a,int b,db x)
{
if(a<0) return ;
if(vis[a][b]!=now) vis[a][b]=now,p[a][b]=0,v[a].push_back(b);
upd(p[a][b],x);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(f,0x3f,sizeof(f));
int i,j,k,a,b;
for(i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;
for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&a,&b),pa[i]=a,pb[i]=b,d[a]++,d[b]++,f[a][b]=f[b][a]=1;
for(k=1;k<=n;k++)
{
for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(f[i][pb[j]]==f[i][pa[j]]+1) s1[i][pa[j]]+=1.0/n/d[pb[j]],s2[i][pb[j]]+=1.0/n/d[pa[j]];
if(f[i][pa[j]]==f[i][pb[j]]+1) s1[i][pb[j]]+=1.0/n/d[pa[j]],s2[i][pa[j]]+=1.0/n/d[pb[j]];
if(f[i][pa[j]]==f[i][pb[j]]) s0[i][pa[j]]+=1.0/n/d[pb[j]],s0[i][pb[j]]+=1.0/n/d[pa[j]];
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt)),memset(s,0,sizeof(s));
for(j=1;j<=n;j++) cnt[f[i][j]]++;
for(j=0;j<=n;j++) if(cnt[j]) s[j]=1.0/n;
for(j=1;j<=n;j++)
{
now++;
for(k=1;k<=n;k++)
{
upd(f[i][k],f[j][k],s0[i][k]);
upd(f[i][k]+1,f[j][k],s1[i][k]);
upd(f[i][k]-1,f[j][k],s2[i][k]);
}
for(k=0;k<=n;k++)
{
tmp=0;
for(it=v[k].begin();it!=v[k].end();it++) tmp+=p[k][*it];
v[k].clear();
upd(s[k],tmp);
}
}
tmp=0;
for(j=0;j<=n;j++) tmp+=s[j];
ans=max(ans,tmp);
}
printf("%.12lf",ans);
return 0;
}//6 14 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 1 5 2 5 3 5 4 5 2 4 3 4 1 3 2 3 1 2