让幂运算更效率——快速幂

　　在日常解决问题的过程中，我们常常会遇到求a^b类似的问题，对于这种问题，我们一般的解决方法就是最朴素的方法就能解决，它的时间复杂度为O(b)。

int power(int a,int b)    //求a的b次方
{
    int i,ans=1;
    for(i=0;i<b;i++)
        ans*=a;
    return ans;
}

但是对于某些题目，当b的数据变大的时候，可能就会超时，这时候我们就需要用快速幂来优化我们的程序了。

一、快速幂
快速幂的原理来自于十进制二进制相互转换的加权系数法，对于任意一个十进制数，我们可以把它写成2^k₁+2^k₂+2^k₃+…+2^k_n+…(k=0,1,2…)，继而转化为二进制，如10=2¹+2³=(1010)₂。那么对于a^b的次数b来说，也是如此。我们可以把b拆成2^k₁+2^k₂+2^k₃+…+2^k_n+…(k=0,1,2…)，那么a^b就变成了a^{(2^k₁+2^k₂+2^k₃+…+2^k_n+…)}(k=0,1,2…)，继而可以化成a^{2^k₁}×a^{2^k₂}×a^{2^k₃}×…×a^{2^k₁}。这样一来，我们就把原来的时间复杂度O(b)压缩到O(log₂b)，这是一个很可观的改进。
怎么用代码来实现呢？这里我们需要用到两个位运算&和>>，其中&是按位与，我们在代码中用(n&1)来判断n的二进制最后一位是不是1。n>>1的作用是二进制数左移一位，效果等同于除以2，但是时间要比除以2稍快。
综上，我们就可以得到快速幂的实现代码了。

long long fastpow(long long n,long long multi)
{
    long long ans=1,base=n;
    while(multi)
    {
        if(multi&1) ans=(ans*base);
        base=(base*base);
        multi>>=1;
    }
    return ans;
}

但是在实际解题中很多情况下进行不了几次幂运算就会溢出，所以常常会让我们取模，下面我们来解决这个问题。

二、快速幂取模

求解快速幂取模的问题并不需要对算法做太多的改动，在乘运算时加上取模即可，但要注意取模尽量要考虑全面，因为不一定什么地方就会爆掉了。
代码如下：

long long fastpow(long long n,long long multi,long long mod)
{
    long long ans=1,base=n;
    while(multi)
    {
        if(multi&1) ans=(ans*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        multi>>=1;
    }
    return ans%mod;
}

三、矩阵快速幂

（施工中orz）

四、相关题目
1.快速幂例题  Luogu P1226：

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long mod,n,multi;

long long fastmulti(long long n,long long multi,long long mod)
{
    long long ans=1,base=n;
    while(multi)
    {
        if(multi&1) ans=(ans*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        multi>>=1;
    }
    return ans%mod;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&multi,&mod);
    long long ans;
    ans=fastmulti(n,multi,mod);
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",n,multi,mod,ans);
    return 0;
}

Author : Houge　　Date : 2019.6.2

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