POJ 1201 差分方程分析

POJ 1201

给你N个闭区间。每个区间分别为[ai,bi]，你必须在这个区间上至少取ci个不同的整数。

现要求所有区间满足各自的条件。

问最少需要选多少个点。

例如[3,7](3)  [8,10](3)  [6,8](1)  [1,3](1)  [10,11](1)

我们最少需要选6个点:

3 4 6 8 9 10

在这里我们可以看成是dp[7]-dp[2]>=3 dp[10]-dp[8]>=3 ....

这就可以理解为2->7的距离可以定为3,8->10的距离也定为3

我们再看看Si的定义，也不难写出0<=Si - Si-1<=1的限制条件，虽然看上去是没有什么意义的条件，但是如果你也把它构造出一系列的边的话，这样从起点到终点的最短路也就顺理成章的出现了。

我们将上面的限制条件写为同意的形式：

Sbi - Sai >= ci

Si - Si-1 >= 0

Si-1 - Si >= -1

这样子我们相当于在一个构建好的有向图中找一个最长路径，这跟之前的最短路径正好相反，所以需要引起注意

那么dp在初始化时需尽可能小，才能不断更新出最大值

 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 

for(int i=first[u];i!=-1;i=area[i].next){
            if(dp[area[i].y]<dp[u]+area[i].d){
                dp[area[i].y]=dp[u]+area[i].d;
                if(!visit[area[i].y])
                    visit[area[i].y]=1,q.push(area[i].y);
            }

所以这里要引起注意，要在小于的情况下继续执行程序，不断更新出最大值。

对于一个差分问题来说是可能存在无解的情况的，那说明形成的是负圈，但这道题目明显表示有解，所以无需进行负圈的判断。

总代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 50005
#define M 200000

int visit[N],dp[N],first[N],k,n,m,maxn,minn;

struct Area{
    int y,next,d;
}area[M];

void init()
{
    k=0,maxn=0,minn=N;
    memset(first,-1,sizeof(first));
}

void add(int a,int b,int c){
    area[k].y=b,area[k].d=c,area[k].next=first[a];
    first[a]=k;
    k++;
}

void spfa()
{
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    queue<int> q;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[minn]=0,visit[minn]=1,q.push(minn);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        visit[u]=0;
        for(int i=first[u];i!=-1;i=area[i].next){
            if(dp[area[i].y]<dp[u]+area[i].d){
                dp[area[i].y]=dp[u]+area[i].d;
                if(!visit[area[i].y])
                    visit[area[i].y]=1,q.push(area[i].y);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int a,b,c;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        init();
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            //add(b,a-1,-c);
            add(a,b+1,c);
            maxn=max(maxn,b+1);
            minn=min(minn,a);
        }
        for(int i=minn;i<maxn;i++){
            add(i,i+1,0);
            add(i+1,i,-1);
        }
        spfa();

        printf("%d
",dp[maxn]);
    }
    return 0;
}