HDU 1098 Ignatius's puzzle 费马小定理+扩展欧几里德算法

 题目大意：

给定k，找到一个满足的a使任意的x都满足 f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x 被65整除

推证：

f(x) = (5*x^12 + 13 * x^4 + ak) * x

因为x可以任意取 那么不能总是满足 65|x

那么必须是 65 | (5*x^12 + 13 * x^4 + ak)

那么就是说 x^12 / 13 + x^4 / 5 + ak / 65 正好是一个整数

假设能找到满足的a ， 那么将 ak / 65 分进x^12 / 13 + x^4 / 5中得到 （x^12+t1 ) / 13 + (x^4+t2) / 5 这两项均为整数

那么5*t1+13*t2 = ak

而这里 13|（x^12+t1 )     5| (x^4+t2) 

这里13 ， 5均是素数

根据费马小定理可得 x^12 = 1 mod13  x^4 = 1 mod 5

那么t1 = 12 + 13*k1 , t2 = 4 + 5*k2

 将t1 t2带入5*t1+13*t2 = ak

那么就是5*(12 + 13*k1) +13*(4 + 5*k2) = ak

->65（k1+k2)+112 = ak

这里k已知 ， 求a看做y ， k1+k2为整数，看成是x即可

那么就是求65x+ay=-112

这里就是求扩展欧几里得了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <vector>

using namespace std;
#define ll long long
#define N 500
#define pii pair<int,int>

void ex_gcd(ll a , ll b , ll &x , ll &y , ll &d)
{
    ll t;
    if(b==0){d=a,x=1,y=0;}
    else{
        ex_gcd(b , a%b , x , y , d);
        t=x , x=y , y=t-a/b*y;
    }
}


int main() {
   // freopen("a.in" , "r" , stdin);
   // freopen("out.txt" , "w" , stdout);
    int a;
    while(~scanf("%d" , &a)){
        ll x , y , d;
        ex_gcd((ll)65 , (ll)a , x , y , d);
        if(112%d!=0) puts("no");
        else{
            printf("%I64d
" , ((112/d*y%65)+65)%65);
        }
    }
}