小小c#算法题 2 求素数

题目：(a) 求1~n内的所有素数。

         (b) 找出一个无序的整数数组内的所有素数。

这两个题目是同样的解法，只不过形式变了一下。这里只对(a)给出解法，(b)类似。

（1）第一种解法

首先明白什么是素数，素数也叫质数，就是只能被1和它本身整除的整数。像1，2，3，5，7都是素数。

明白了素数的概念，那么程序就很容易写出来了。要想知道一个数x是否是素数，那么只需要把1~x之间的所有整数来除x，如果存在这么一个数（1和x除外），其能够整除x（余数为0），那么x就不是素数，否则x就是素数。这是从概论出发的解法。那么下面就要看怎么优化了。

其实我们没有必要检查1~x之间的所有整数。只需检查1~[根号x]之间的数就可以了。至于为什么，可以从乘法的角度理解，我们在做除法，其实反过来也就是乘法。我们用判断15是否是素数的情况来举个例子。当我们除3的时候，3*5=15。所以，在判断3的同时也判断了另一个数5。所以我们只需要检查到根号x就可以了，当检查到根号x的时候，根号x之后也检查过了。

代码(c#)： 

        private static void PrintPrimes(int n)
        {

            //输出1~n之间的所有素数，n>=3
            Console.Write("1 2 ");
            int i, j = 0;
            for (i = 3; i <= n; i = i + 2)
            {
                int k = (int)Math.Sqrt(i);
                for (j = 2; j <= k; j++)
                {
                    if ((i % j) == 0)
                    {
                        break;
                    }
                }

                if (j > k)
                {
                    Console.Write(i.ToString() + " ");
                }
            }
        }

注意for循环里递增的间隔是2，而不是i++。因为偶数肯定不是素数，这样也在一定程度上提高了效率。

（2）第二种解法

由于1~n是有序的且递增的，所以可以有这么一种解法：建立一个标识数组，长度为n，下标与1~n每个数对应，在每次判断完一个数是否是素数之后，将该数对应的标识位重置，0为素数，1为非素数，并且将这个数的所有倍数的标识位置1，这里其实就是剔除一些重复判断。最后遍历标识数组，输出所有素数。但这样做的代价是额外开辟了一段内存做为标识数组。当然，如果原数组不需要保存的话，你也可以直接在原数组上进行操作。

听起来不错，但其实比第一种方法快不了多少。通过用Stopwatch看运算时间，这种解法并不怎么样，只有在数据量比较大的时候，其运行效率会比上一种方法要高那么一点点。我想是因为2的倍数太多了（方法一种循环步增是2），所以方法一已经剔除了相当一部分，再有，为每个素数计算倍数，然后再为标识数组赋值，也需要时间。

代码(c#):

        private static void PrintPrimes2(int n)
        {
            int[] flags = new int[n];
            int j = 2;
            for (int i = 2; i <= n; i++)
            {
                if (flags[i - 1] == 0)
                {
                    if (!IsPrime(i))
                    {
                        flags[i - 1] = 1;
                    }

                    if (i <= n / 2)
                    {
                        j = 2;
                        while (i * j < n)
                        {
                            flags[i * j - 1] = 1;
                            j++;
                        }
                    }
                }
            }

            for (int k = 1; k < n; k++)
            {
                if (flags[k] == 0)
                {
                    Console.Write((k + 1).ToString() + " ");
                }
            }
        }

        private static bool IsPrime(int x)
        {
            if (x < 1)
            {
                throw new ArgumentException("Cannot be less than 1");
            }

            if (x < 3)
            {
                return true;
            }
            else
            {
                int k = (int)Math.Sqrt(x);
                int i = 2;
                for (; i <= k; i++)
                {
                    if (x % i == 0)
                    {
                        break;
                    }
                }

                if (i > k)
                {
                    return true;
                }
                else
                {
                    return false;
                }
            }
        }

 （3）第三种解法

如果能事先构造好素数库，而且很容易在构造的时候使之有序。那么判断一个数是否是素数的话，直接二分查找就能很快的判断。如果要查找n范围内的素数的话，直接把库中小于n的所有数取出来即可。所以，怎么构造一个素数库呢？

首先，从解法一中我们知道，判断一个数是否为素数，只需与2~Sqrt(n)之间的整数做取余操作即可。这个判断过程的效率可以进一步的提高。试想，如果3，6，9都属于2~Sqrt(n)之间的整数，如果我们要判断的整数不能被3整除的话，肯定也不能被6和9整除，所以这些步骤可以省略。我们在构造的时候完全可以利用已经被构造的素数序列!

假设我们已经有素数序列: p1, p2, .. pn

现在要判断pn+1是否是素数, 则仅需要(1, sqrt(pn+1))范围内的所有素数序列即可，而不是其间的所有整数。

而这个素数序列显然已经作为p1, p2, .. pn的一个子集被包含了!

构造素数库或素数序列的代码如下：

方法创建2~num之间的素数序列并返回。

        static List<int> CreatePrimes(int num)
        {
            List<int> primes = new List<int>();
            primes.Add(2);
            primes.Add(3);

            for (int i = 5; i <= num; i += 2)
            {
                bool isPrime = true;

                // 为什么j从1开始：因为i是一个奇数加偶数，所以只能是奇数，所以不可能被2整除，所以primes集合的第一个
                // 元素2就不用计算了
                for (int j = 1; primes[j] * primes[j] <= i; ++j)
                {
                    if (i % primes[j] == 0)
                    {
                        isPrime = false; 
                        break;
                    }
                }

                if (isPrime)
                {
                    primes.Add(i);
                }
            }

            return primes;
        }

如此一来，如果求素数操作很频繁的话，那么一开始就可以构造一个比较大的素数序列存储起来。然后判断素数时用二分查找法查找，取素数序列时也很方便。

有一篇博客对求素数的算法写得也不错，见http://www.cnblogs.com/luluping/archive/2010/03/03/1677552.html。

最后想提醒一点的是，目前我们处理的都是int，当然你也可以换作long, double。只是终究是有个范围的。如果以字符串的形式给了一个相当大的数，远远超出了long的范围，那么怎么判断呢？

1. 自己构造一个新的数据结构来存储，具体我不清楚。曾经有个搞芯片开发的人跟我说这不是问题。

2. 自己写方法把求余操作实现，其实就是写代码实现小学的除法运算。

就写这么多吧，希望对大家有所帮助。