NOIP 2014 解方程

描述

已知多项式方程：

a0+a1x+a2x2+...+anxn=0

求这个方程在[1, m]内的整数解（n 和 m 均为正整数）。

格式

输入格式

输入共 n+2 行。

第一行包含 2 个整数 n、m，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的 n+1 行每行包含一个整数，依次为a0,a1,a2,...,an。

输出格式

第一行输出方程在[1, m]内的整数解的个数。

接下来每行一个整数，按照从小到大的顺序依次输出方程在[1, m]内的一个整数解。

样例1

样例输入1

 

2 10
1
-2
1

样例输出1

 

1
1

样例2

样例输入2

 

2 10
2
-3
1

样例输出2

 

2
1
2

样例3

样例输入3

 

2 10
1
3
2

样例输出3

 

0

限制

对于 30%的数据，0 < n ≤ 2， |ai| ≤ 100，an ≠ 0， m ≤ 100；

对于 50%的数据，0 < n ≤ 100， |ai| ≤ 10100 ，an ≠ 0，m ≤ 100；

对于 70%的数据，0 < n ≤ 100， |ai| ≤ 1010000 ，an ≠ 0，m ≤ 10000；

对于 100%的数据，0 < n ≤ 100， |ai| ≤ 1010000 ，an ≠ 0，m ≤ 1000000。

来源

NOIP2014 提高组 Day2

 

今天重新做了一下NOIP原题，当时啥也不会，就直接输出0，搞了10分，今天看看撑死也就30,50了，用了网上的一种hash法勉强搞到70分，AC的还未看懂，下面给个标准的题解吧，争取早日理解。

30% : 穷举x，判断等式是否成立。

50% : 在30%的做法中加入高精度乘法，加法。不用高精减的原因是,只要把符号相同的项移到等式一边，最后再计算等式两边数值是否相等。同时记得要写秦九韶(霍纳法则)优化。

70% : 根据同余的性质，同余符号两边可以支持同加一个数，同乘一个数。那么可以对等式两边同时对一个数取模，如果同余符号成立，那么原等式有可能成立，反之则筛掉该x。在实际操作时对ai用一个素数取模，然后再穷举x，一边取mod一边运算。于是就可以把单次检验复杂度降为O(n)

复杂度 : O(nm)

100% : 根据二项式定理，f(x+p)在展开后必然可以整理成f(x)+T，其中T为关于p的一个多项式，而在同余(mod p)的环境下，T是可以忽略的，也就是说，那么事实上f(x) mod p就是在[1,m]上的周期函数，那么我们只要预处理出f(0)~f(p-1)，就相当于知道了f(x) mod p在该区间上的全部情况。于是我们对上述算法优化，从选一个质数改为选取多个小质数pi进行验证，对每一个pi进行0~(pi-1)的预处理后，就可以筛掉一些x。最后输出剩下的x。

复杂度 : O(+m)