[网络流24题] 最小路径覆盖问题

问题描述：

　　给定有向图G=(V,E)。设P是G的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V中每个顶点恰好在P的一条路上，则称P是G的一个路径覆盖。P中路径可以从V的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖。

提示：

设V={1，2，...  ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

　　每条边的容量均为1。求网络G1的(x0,y0)最大流。

编程任务：

　　对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

数据输入：

　　由文件input.txt提供输入数据。文件第1行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G的顶点数，m是G的边数。接下来的m行，每行有2个正整数i 和j，表示一条有向边(i,j)。

结果输出:

　　程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件output.txt中。从第1行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

题解：

　　最小路径覆盖，建图方法：把所有点分别加入二分图中的x集和y集，如果i节点可以连向j，就让在x集中的i连向一条在y集的j，权值为inf。然后让S连向x集，权值为1。让y集连向T，权值为1。跑网络流，路径的个数就是点的总数减去最大流的值。 证明理解

　　统计方案也很好理解，正如''证明理解''，里的那样，如果x集里的u流了容量为一的边到y集里的v，则说明v表示的点在DAG中是u表示的点的后继，那么他们两个在同一个路径覆盖上，用并查集把他们联系起来，最后统计一下就成了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int inf=1e9;
const int maxn=1000,maxm=120000;
int N,M,S,T,ANS;
struct Edge{
    int to,rest,next;
}e[150000];
int head[maxn],cnt=1;
inline void Addedge(int x,int y,int z){
    e[++cnt].to=y; e[cnt].rest=z; e[cnt].next=head[x]; head[x]=cnt;
    e[++cnt].to=x; e[cnt].rest=0; e[cnt].next=head[y]; head[y]=cnt;
}
int dis[maxn];
inline bool BFS(){
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    static queue<int> Q;
    while(!Q.empty()) Q.pop();
    Q.push(S); dis[S]=1;
    while(!Q.empty()){
        int x=Q.front(); Q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to;
            if(dis[y]==0&&e[i].rest!=0){
                dis[y]=dis[x]+1;
                Q.push(y);
            }
        }
    }
    if(dis[T]) return true;
    return false;
}
inline int DFS(int x,int flow){
    if(x==T) return flow;
    int tmp,now=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if(dis[y]==dis[x]+1&&e[i].rest!=0){
            tmp=DFS(y,min(flow-now,e[i].rest));
            e[i].rest-=tmp;
            e[i^1].rest+=tmp;
            now+=tmp;
            if(now==flow) return now;
        }
    }
    if(!now) dis[x]=0;
    return now;
}
inline void dinic(){
    while(BFS()) ANS-=DFS(S,inf);
}

int fa[maxn];
inline int find(int x){
    if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int main(){
    //freopen("path3.in","r",stdin);
    //freopen("path3.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&N,&M); 
    ANS=N; S=0; T=N*2+1;
    for(int i=1,u,v;i<=M;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        Addedge(u,v+N,inf);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        Addedge(S,i,1);
        Addedge(i+N,T,1);
    }
    dinic();
    for(int i=1;i<=N;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=head[i];j;j=e[j].next){
            int y=e[j].to;
            if(e[j].rest==inf-1){
                int u=i,v=y-N;
                int fau=find(u),fav=find(v);
                if(fau!=fav){
                    if(fau<fav) fa[fav]=fau;
                    else fa[fau]=fav;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(fa[i]==i){
            printf("%d ",i);
            for(int j=1;j<=N;j++){
                if(j!=i&&fa[j]==i) printf("%d ",j);
            }
            printf("
");
        }
    }
    printf("%d
",ANS);
    return 0;
}