一、概念引入
GCD，全名Greatest common divisor（最大公因数）。
我们以gcd(a,b)或(a,b)表示a与b的最大公因数。
LCM，全名Least Common Multiple（最小公倍数），
我们以lcm(a,b)或[a,b]表示a与b的最小公倍数。
二、求最大公约数-欧几里得算法
用途：
求解gcd(a,b)
核心公式：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) （其中a mod b > 0)
或者gcd(a,b) = gcd(c,d) ( 其中a<b,c=max(b,a-b),d=min(b,a-b) )
算法思路：
（保证a>b）
当a是b的倍数时，a,b最大公约数为b；
*PS：此时，a mod b = 0，即gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) = gcd(b,0) = b，可用于边界判断；
当a不是b的倍数时，运用核心公式，直到a'是b'的倍数。
*PS：因为b' = (a mod b) < b，所以a,b两个值在不断调用gcd的过程中将逐渐递减，直至b=0；
代码：
1 int gcd(int a,int b)
2 {
3 if(b==0)
4 return a;
5 else
6 {
7 if(a<b)
8 {
9 a=a+b;//a'=a+b
10 b=a-b;//b = a'-b = a+b-b = a
11 a=a-b;//a'' = a'-b' = a+b-a = b
12 }
13 return gcd(b,a%b);
14 }
15 }
*核心公式证法1.
第一步（证明d是a,b公约数时，d也是b,a mod b的公约数【反应正向进行】）：
——a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），
——则r = a mod b
——假设d是a,b的一个公约数，记作 d|a, d|b，即a和b都可以被d整除。
——而r = a - kb，两边同时除以d，r/d = a/d - kb/d = m，由等式右边（a和b都可以被d整除）可知m为整数，
——因此d|r，已知r = a mod b
——综上，d|b 且 d|（a mod b）
——因此d也是b,a mod b的公约数
第二步（证明d是b,a mod b的公约数时，d也是a,b公约数【反应逆向进行】）：
——假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数,
——进而d|a.
——因此d也是a,b的公约数
——因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，
综上,欧几里得算法核心公式得证。
三、求最小公倍数 - 大数翻倍法
公式法：
非常简单，∵gcd(a,b) × lcm(a,b) = a × b，
∴lcm(a,b) = a × b ÷ gcd(a,b)，其中gcd(a,b)可以用欧几里得算法求解。
大数翻倍法：
思路也很简单，
∵lcm(a,b)，同时是a与b的倍数，所以取a，b较大数不断翻倍，直到结果能够整除较小数即可。
1 int lcm(int a,int b)
2 {
3 int i;
4 if(a<b)
5 {
6 i=a; a=b; b=i;
7 }
8
9 i=1;
10 while( (a*i) % b != 0 )
11 i++;
12 return a*i;
13 }
四、求最大公约数-Stein算法
这个算法是针对位数很多的大整数(接近10^10^4)所设计的。未完待续。。。