离散化
定义
离散化,就是把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去,以提高算法的时空效率。”
很多算法的复杂度与数据中的最大值有关,比如树状数组和纯用数组实现的一对一标记。时常会遇到这种情况:数据的范围非常大或者其中含有负数,但数据本身的个数并不是很多(远小于数据范围)。在这种情况下,如果每个数据元素的具体值并不重要,重要的是他们之间的大小关系的话,我们可以先对这些数据进行离散化,使数据中的最大值尽可能小且保证所有数据都是正数。
例如,有这样一个长为5的序列:102131511,123,9813186,-611,55。其中有非常大的数以及负数,会给许多算法的实现带来困扰,我们可以把这个序列离散化,使它变成这样:5,3,4,1,2。各个元素间的大小关系没有任何改变,但数据的范围一下子就变得很舒服了。
离散化的原理和实现都很简单。为了确保不出错且尽可能地提高效率,我们希望离散化能实现以下几种功能:1.保证离散化后的数据非负且尽可能的小2.离散化后各数据项之间的大小关系不变,原本相等的也要保持相等。由此,找出数据项在原序列中从小到大排第几就是离散化的关键。
可以通过下面的方法以O(nlong)的时间复杂度完成离散化,n为序列长度。
- 对原序列进行排序,使其按升序排列。
- 去掉序列中重复的元素。
- 此时序列中各位置的值和位置的序号就是离散化的映射方式。
例如:
a[x]值得范围为1-1e9,但其中的数字个数只有1e5个
那么如果我们需要开标记数组就需要1e9的空间,可将其离散化至1e5后,只需要开1e5的空间即可。
代码如下:
1 int n, a[maxn], t[maxn]; 2 //这里以下标1为序列的起点,一般情况下从0开始也可以 3 for(int i = 1;i <= n;i++) 4 { 5 scanf("%d", &a[i]); 6 t[i] = a[i];//t是一个临时数组,用来得到离散化的映射关系 7 } 8 //下面使用了STL中的sort(排序),unique(去重),lower_bound(查找)函数 9 sort(t + 1, t + n + 1);//排序 10 int m = unique(t + 1, t + 1 + n) - t - 1;//去重,并获得去重后的长度m 11 for(int i = 1;i <= n;i++) 12 { 13 a[i] = lower_bound(t + 1, t + 1 + m, a[i]) - t;//通过二分查找,快速地把元素和映射对应起来 14 }
奶牛抗议
题目描述
约翰家的N 头奶牛正在排队游行抗议。一些奶牛情绪激动,约翰测算下来,排在第i 位的奶牛的理智度为Ai,数字可正可负。
约翰希望奶牛在抗议时保持理性,为此,他打算将这条队伍分割成几个小组,每个抗议小组的理智度之和必须大于或等于零。奶牛的队伍已经固定了前后顺序,所以不能交换它们的位置,所以分在一个小组里的奶牛必须是连续位置的。除此之外,分组多少组,每组分多少奶牛,都没有限制。
约翰想知道有多少种分组的方案,由于答案可能很大,只要输出答案除以1000000009 的余数即可。
输入输出格式
输入格式:
• 第一行:单个整数N,1 ≤ N ≤ 100000
• 第二行到第N + 1 行:第i + 1 行有一个整数Ai,−10^5 ≤ Ai ≤ 10^5
输出格式:
单个整数:表示分组方案数模1000000009 的余数
输入输出样例
说明
解释:如果分两组,可以把前三头分在一组,或把后三头分在一组;如果分三组,可以把中间两头分在一组,第一和最后一头奶牛自成一组;最后一种分法是把四头奶牛分在同一组里。
思路
我们令f[i]f[i]表示考虑到第ii个奶牛的方案数,s[i]s[i]表示前缀和,显然有
f[i]=∑(1≤j≤i,s[j]<s[i])f[j] 。
我们发现,这个问题演变成为一个求顺序对的问题,我们使用树状数组解决。
1 // 2 #include<stdio.h> 3 #include<bits/stdc++.h> 4 using namespace std; 5 #define ll long long 6 ll a[100005],b[100005],sum[100005],c[100005];//b为sum的离散化对应数组 7 int n,cnt,ans; 8 void modify(int x,ll d) 9 { 10 for(x;x<=n+1;x+=x&-x) 11 c[x]=(c[x]+d)%1000000009; 12 } 13 ll getsum(int x) 14 { 15 ll sum=0; 16 for(x;x;x-=x&-x) 17 sum=(sum+c[x])%1000000009; 18 return sum; 19 } 20 int main() 21 { 22 cin>>n; 23 for(int i=1;i<=n;i++) 24 { 25 cin>>a[i]; 26 sum[i]=sum[i-1]+a[i],b[i]=sum[i]; 27 } 28 sort(b+1,b+1+n); 29 cnt=unique(b,b+1+n)-b; 30 ans=0; 31 for(int i=1; i<=n; i++) 32 if(sum[i]>=0) 33 { 34 int x=lower_bound(b+1,b+1+cnt,sum[i])-b; 35 ll tmp=getsum(x)+1; 36 modify(x,tmp); 37 if(i==n)ans=tmp; 38 } 39 cout<<ans; 40 return 0; 41 }