堆的插入、删除和建立操作，堆排序

1.        堆

堆：n个元素序列{k₁,k₂,...,k_i,...,k_n},当且仅当满足下列关系时称之为堆：

(k_i <= k_2i,k_i <= k_2i+1)

或者(k_i >= k_2i,k_i >= k_2i+1), (i = 1,2,3,4,...,n/2)

若将和此次序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。由此，若序列{k₁,k₂,…,k_n}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

一般用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i–1)/2。它的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。如第0个结点的左右子结点下标分别为1和2。

2.        堆的插入

每次插入都是将先将新数据放在数组最后，由于从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的序列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序序列中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。

代码：

/*
 * 堆插入算法。(小顶堆)
 * 先将num插入堆尾，易知从新数据的父结点到根结点是一个有序的序列，
 * 将num插入到该有序序列当中，该过程为直接插入排序。
 * 未插入前数据长度为n。
 */
int HeapInsert(int *heap, int n, int num)
{
	int i, j;

	heap[n] = num;//num插入堆尾
	i = n;
	j = (n - 1) / 2;//j指向i的父结点
	
	//注意不要漏掉i!=0的条件。因为必须保证i有父结点j。j>=0并不能保证i!=0。
	//如果没有此条件，当i=0时，j=0,若heap[0]>num,程序就会陷入死循环。
	while (j >= 0 && i != 0)
	{
		if (heap[j] <= num)
			break;
		heap[i] = heap[j];
		i = j;
		j = (i - 1) / 2;
	}
	heap[i] = num;

	return 0;
}

3.        堆的删除

堆中每次都只能删除堆顶元素。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于根结点数据的“下沉”过程。

代码：

/*
 * 堆删除算法。(删除堆顶元素)
 * n表示未删除前堆中数据的总数。
 */
int HeapDelete(int *heap, int n)
{
	//使用堆尾元素直接覆盖堆顶元素。
	heap[0] = heap[n - 1];
	//从堆顶到堆尾(此时堆中只有n-1个元素)进行堆调整。
	HeapAdjust(heap, 0, n - 1);
	return 0;
}

/*
 * 堆调整算法。(小顶堆)
 * 已知heap[top]结点的左右子树均为堆，调整堆中元素，使以heap[top]为根结点的树为堆。
 * n为堆中元素总数。
 */
int HeapAdjust(int *heap, int top, int n)
{
	int j = 2 * top + 1;	//左孩子结点
	int temp = heap[top];

	while (j < n)
	{
		if (j + 1 < n&&heap[j + 1] < heap[j])
			j++;	//使j指向左右孩子中较小的结点。
		if (heap[j] >= temp)
			break;
		heap[top] = heap[j];
		top = j;
		j = 2 * top + 1;
	}
	heap[top] = temp;
	return 0;
}

4.        堆的建立

从无序序列建堆的过程就是一个反复调整的过程。若将此序列看成是一个完全二叉树，则最后一个非终端结点是第(n-2)/2个结点，由此调整过程只需从该结点开始，直到堆顶元素。

代码：

/*
 * 建堆算法。
 * 将无序数组array[]转换为堆。
 */
int CreatHeap(int *array, int n)
{
	int i;
	//最后一个结点的编号为n-1，该结点的父节点(n-2)/2为最后一个非终端结点。
	//从结点(n-2)/2到根结点，依次进行堆调整。
	for (i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		HeapAdjust(array, i, n);
	}
	return 0;
}

5.        堆排序

若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重建一个堆，则得到n个元素中的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代之，此时根结点的左右子树均为堆，则仅需进行一次从上到下的调整即可重建一个堆。

代码：

/*
 * 堆排序算法。
 * 形参heap为大顶堆时，实现的是由小到大；
 * 形参heap为小顶堆时，实现的是由大到小；
 */
int HeapSort(int *heap, int n)
{
	int i;
	int temp;

	for (i = n - 1; i > 0; i--)
	{
		//将堆顶元素和未排序的最后一个元素交换。
		temp = heap[0];
		heap[0] = heap[i];
		heap[i] = temp;
		//交换之后进行堆调整
		HeapAdjust(heap, 0, i);
	}
	return 0;
}

6. 测试代码

/* 
 * 堆的建立、插入、删除和堆排序算法
 */
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#define TOTAL 20

int HeapInsert(int *heap, int n, int num);
int HeapDelete(int *heap, int n);
int HeapAdjust(int *heap, int top, int n);
int HeapSort(int *heap, int n);
int CreatHeap(int *array, int n);

int main()
{
	int heap[TOTAL];
	int num;
	int i;

	//先输入一半的数据，对输入的数组建堆。
	printf("输入Total/2个数据：
");
	for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++)
		scanf("%d", &heap[i]);

	CreatHeap(heap, TOTAL / 2);

	//检验是否建堆成功。
	printf("建堆后：
");
	for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++)
		printf("%-3d", heap[i]);
	putchar('
');

	//向已建好的堆中插入数据，并重组为堆。
	printf("继续输入Total/4个数据：
");
	for (i = TOTAL / 2; i < TOTAL / 2 + TOTAL / 4; i++)
	{
		scanf("%d", &num);
		HeapInsert(heap, i, num);
	}

	//检验是否插入成功。
	printf("重组为堆之后：
");
	for (i = 0; i < TOTAL / 2 + TOTAL / 4; i++)
		printf("%-3d", heap[i]);
	putchar('
');

	//删除堆顶元素Total/4次。
	printf("删除Total/4个数据：
");
	for (i = 0; i < TOTAL / 4; i++)
		HeapDelete(heap, TOTAL / 2 + TOTAL / 4 - i);

	//检验是否删除成功。
	for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++)
		printf("%-3d", heap[i]);
	putchar('
');

	//向堆中插满数据，进行堆排序。
	printf("继续输入Total/2个数据：
");
	for (i = TOTAL / 2; i < TOTAL; i++)
	{
		scanf("%d", &num);
		HeapInsert(heap, i, num);
	}

	HeapSort(heap, TOTAL);
	printf("排序后：
");
	for (i = 0; i < TOTAL; i++)
		printf("%-3d ", heap[i]);
	putchar('
');
	return 0;
}

/*
 * 堆插入算法。(小顶堆)
 * 先将num插入堆尾，易知从新数据的父结点到根结点是一个有序的序列，
 * 将num插入到该有序序列当中，该过程为直接插入排序。
 * 未插入前数据长度为n。
 */
int HeapInsert(int *heap, int n, int num)
{
	int i, j;

	heap[n] = num;//num插入堆尾
	i = n;
	j = (n - 1) / 2;//j指向i的父结点
	
	//注意不要漏掉i!=0的条件。因为必须保证i有父结点j。j>=0并不能保证i!=0。
	//如果没有此条件，当i=0时，j=0,若heap[0]>num,程序就会陷入死循环。
	while (j >= 0 && i != 0)
	{
		if (heap[j] <= num)
			break;
		heap[i] = heap[j];
		i = j;
		j = (i - 1) / 2;
	}
	heap[i] = num;

	return 0;
}

/*
 * 堆删除算法。(删除堆顶元素)
 * n表示未删除前堆中数据的总数。
 */
int HeapDelete(int *heap, int n)
{
	//使用堆尾元素直接覆盖堆顶元素。
	heap[0] = heap[n - 1];
	//从堆顶到堆尾(此时堆中只有n-1个元素)进行堆调整。
	HeapAdjust(heap, 0, n - 1);
	return 0;
}

/*
 * 堆调整算法。(小顶堆)
 * 已知heap[top]结点的左右子树均为堆，调整堆中元素，使以heap[top]为根结点的树为堆。
 * n为堆中元素总数。
 */
int HeapAdjust(int *heap, int top, int n)
{
	int j = 2 * top + 1;	//左孩子结点
	int temp = heap[top];

	while (j < n)
	{
		if (j + 1 < n&&heap[j + 1] < heap[j])
			j++;	//使j指向左右孩子中较小的结点。
		if (heap[j] >= temp)
			break;
		heap[top] = heap[j];
		top = j;
		j = 2 * top + 1;
	}
	heap[top] = temp;
	return 0;
}

/*
 * 堆排序算法。
 * 形参heap为大顶堆时，实现的是由小到大；
 * 形参heap为小顶堆时，实现的是由大到小；
 */
int HeapSort(int *heap, int n)
{
	int i;
	int temp;

	for (i = n - 1; i > 0; i--)
	{
		//将堆顶元素和未排序的最后一个元素交换。
		temp = heap[0];
		heap[0] = heap[i];
		heap[i] = temp;
		//交换之后进行堆调整
		HeapAdjust(heap, 0, i);
	}
	return 0;
}

/*
 * 建堆算法。
 * 将无序数组array[]转换为堆。
 */
int CreatHeap(int *array, int n)
{
	int i;
	//最后一个结点的编号为n-1，该结点的父节点(n-2)/2为最后一个非终端结点。
	//从结点(n-2)/2到根结点，依次进行堆调整。
	for (i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		HeapAdjust(array, i, n);
	}
	return 0;
}

7. 测试结果

参考：白话经典算法系列之七 堆与堆排序