#算法整理 扩展欧几里得

复习一下扩展欧几里得

扩展欧几里得是什么

即解方程

[ax + by = gcd(a,b) ]

思路

首先确定的是要用递归求解，所以第一步要确定递归边界。类似欧几里得算法，我们先找到当(b = 0)的时候，有(x = 1),(y = 0)

(y)为什么等于(0)呢？因为当(b = 0)时，(gcd(a,b) = gcd(a,0) = a)，而又有(by = 0 imes y = 0)所以(y)取啥都行，就在这里直接赋值0就好了

接下来考虑转移。

假设(bx' + (a \% b)y' = gcd(a,b))有解，则

[a \% b=a-lfloor frac ab floor \ bx′+(a-lfloor frac {a}{b} floor)y′ = gcd(a,b) ]

整理得

[ay'+b(x'-lfloor frac{a}{b} floor*y')=gcd(a,b) ]

那么我们每次转移的时候就可以解这个方程

[x = y' \ y = x'-lfloor frac{a}{b} floor*y' ]

就是说我们先递归到(b = 0)的时候，再依次往回更新(x)，(y)的值。

代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//这里用了取址符，这样就可以保存上一次的结果
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;//返回他们的最大公因数
    }
    int r = exgcd(b,a % b,x,y);
    int temp = y;
    y = a - (a/b) * y
    x = temp;
    return r;//lcez_cyc
}

例题

luogu P1082 同余方程

求关于方程(ax equiv 1 (mod b))的最小整数解

答题过程：

[ax = yb + 1 \ ax - by = 1 \ ecause gcd(a,b) = 1 \ herefore ax + by = gcd(a,b) ]

为什么从减变成加了呢？因为(y)是我们随意设的数字，(y)可正可负，但是(a,b)是不能小于零的