新的退化模型:
$y = (xdownarrow_{s}) otimes k + n $
其中$downarrow_{s}$代表尺度因子为$s$的双三次下采样,$y$表达的是低分辨率图像(经过双三次下采样),该图像是高分辨率的图像$x$的模糊和噪声版本。
下一步再列出能量公式(energy function),根据最大后验估计(Maximum A Posteriori probability):
$min_{x}frac{1}{2sigma^{2}}||y-(xdownarrow_{s}otimes k)||^{2} + lambdaphi(x)$
其中$frac{1}{2sigma^{2}}||y-(xdownarrow_{s}otimes k)||^{2} $是数据保真项(data fidelity)也是似然,该项被退化模型决定($sigma$表示噪声水平noise level);$phi (x)$是正则化也是先验。
使用变量分割(这里取决HQS算法,half quadratic splitting),引入辅助变量:
$hat{x} = argmin_{x}frac{1}{2sigma^{2}}||y-zotimes k||^{2} + lambda phi(x) ==》 z = xdownarrow_{s}$
HQS算法处理上式,最小化下面的问题:
$L_{mu}(x,z) =frac{1}{2sigma^{2}}||y-(z otimes k)||^{2} + lambdaphi(x) + frac{mu}{2}||z-xdownarrow_{s}||^{2}$
其中$mu$是惩罚参数,非常大的$mu$强迫$z$近似等于$xdownarrow_{s}$
上式使用两个迭代公式解决:
(1) $z_{k+1} = argmin_{z} ||y-(z otimes k)||^{2} + mu sigma^{2} ||z-xdownarrow_{s}||^{2}$
(2) $x_{k+1} = argmin_{x} frac{mu}{2}||z-xdownarrow_{s}||^{2} + lambdaphi(x) $
式子2,从贝叶斯观点:
(3) $x_{k+1} = argmin_{x}frac{1}{2(sqrt{1/mu})^{2}}||z_{k+1}-xdownarrow_{s}||^{2} + lambda phi(x)$
$z_{k+1}$对应超分辨率图像,其中尺度因子为$s$,而且假设$z_{k+1}$是一个从高分辨率图像$x$经过双三次下采样得到的;同时,遭受了噪声水平为$sqrt{1/mu}$的加性高斯白噪声。
上面的公式所代表的超分辨率问题,相当于解决下面的简单双三次退化模型,as follows:
$y = xdownarrow_{s} + n$
所以解决上式的简单双三次退化模型问题,在广泛应用的双三次退化的基础上,在一定的噪声水平下,插入基于dnn的超分解器来代替公式3。公式2和公式3可以进一步的写成下式:
$x_{k+1} = SR(z_{k+1}, s, sqrt{1/ mu})$
模糊核K只能够利用公式1,来解决模糊失真(distortion of blur),同时,它使当前的估计变得不那么模糊。
公式2将模糊程度较低的图像映射到更清晰的HR图像,经过公式1、2多次交替迭代,
最终可以重建的HR图像没有模糊和噪声。