bzoj3309:DZY Loves Math

Pre

又是牛顿。

原来线性筛也是可以癌变成为毒瘤的。

我也不吐槽什么了。(图片有改动，但是大体没变)

Solution

式子推完之后，又是一个线性筛，要筛的是。

(F(n)=sumlimits_{d|n}mu(d)*f(frac{n}{d}))

对(n)唯一分解。

(n=prodlimits_{i=1}^{k}p_i^{a_i})

可以证明，如果(a_i eq a_j)

则(F(n)=0)

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证明：

假设显然有(f(frac{n}{d})=max(a_i)或max(a_i)-1)

否则莫比乌斯函数的值为0

从所有的(a_i=max(a_i))的集合中的选择，都可以在(a_i<max(a_i))的集合中找奇偶组数相等。

这一步是由二项式展开得到的。

但是展开的要求是集合非空。

在这道题中就是存在(a_i eq a_j)。

伪证毕(网上的证明没有看懂，所以我自己又写了一篇可能也看不懂的证明)。

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剩下的就好办了。

除了线性筛。

所以我们要筛的是(F(n))

我的代码里面

(f[])表示函数值

(g[])表示(p_i)最小的(p_i^{a_i})

(s[])表示(a_i)

如果对线性筛极为熟练(就是比我领先一大截的那种)，应该很好明白。

线性筛的性质是一个数被最小的因子筛掉(废话)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define xx first
#define yy second
#define mod 100000009
 
using namespace std;
const int N = 10000000 + 5, M = 10000000;
bool vis[N];
int pri[N], tot;
ll f[N], g[N], s[N];
inline void init ();

int main () {
	init ();
	int t;
	scanf ("%d", &t);
	while (t--) {
		int a, b;
		scanf ("%d%d", &a, &b);
		if (a < b) {
			swap (a, b);
		}
		ll l = 1, r;
		ll res = 0;
		while (1) {
			if (l > b) {
				break;
			}
			r = min (a / (a / l), b / (b / l));
			res += 1LL * (a / l) * (b / l) * (f[r] - f[l - 1]);
			l = r + 1;
		}
		printf ("%lld
", res);
	}
    return 0;
}

inline void init () {
	for (int i = 2; i <= M; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			pri[++tot] = i;
			f[i] = 1;
			g[i] = i;
			s[i] = 1;
		}
		for (int j = 1; j <= tot; ++j) {
			if (1LL * pri[j] * i > M) {
				break;
			}
			vis[pri[j] * i] = 1;
			if (i % pri[j] == 0) {
				s[pri[j] * i] = s[i] + 1;
				g[pri[j] * i] = g[i] * pri[j];
				if (pri[j] * i == g[pri[j] * i]) {
					f[pri[j] * i] = 1;
				}
				else {
					f[pri[j] * i] = s[i * pri[j] / g[i * pri[j]]] == s[i * pri[j]] ? -f[i * pri[j] / g[i * pri[j]]] : 0;
				}
				break;
			}
			else {
				f[pri[j] * i] = s[i] == 1 ? -f[i] : 0;
				g[pri[j] * i] = pri[j];
				s[pri[j] * i] = 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= M; ++i) {
		f[i] += f[i - 1];
	}
}

Conclusion

注意有些时候前缀和的计算要在循环外面进行，不然会在回溯寻找信息的时候找到错误信息(也可以在回溯的时候通过前缀和进行计算)。

线性筛感觉跟没学一样。

线性筛好像有挺大的可拓展性。