[BZOJ] 1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

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Description

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

Input

* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E

* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i， 描述了第i条跑道。

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度

Sample Input

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

Sample Output

10

HINT

 

Source

Gold

Analysis

分步Floyd qwq

我今儿算是学到了新套路了...

首先复习一波Floyd原理

三层循环 k i j

表示 i -> j 的路径中插入 k ，如果路径更短的话就更新为 i -> k -> j

所以根据这个

我们知道：整个邻接矩阵更新几次，就是所有的最短路径里有几条边

（如果不更新的话，那么所有路径都只有一条边，也就是初始矩阵）

那么把这个写成一个矩阵间的二元运算关系，A @ B = C

在这个过程中，C[ i ][ j ] = min(C[ i ][ j ],A[ i ][ k ]+B[ k ][ j ])

和Floyd是一样的

这东西，还符合结合律

所以对于 k 步Floyd 我们可以写成一个矩阵快速幂，只是运算从矩阵相乘变成了这个单步Floyd

那么对于这道题

其实就是求 n 步Floyd之后起点和终点之间的距离

那么一个离散化（因为数据范围有点诡异）+ 一个分步Floyd求终矩阵

比较简单，没有其他坑点

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int inf = 1e9;
int Poi = 1,poi,Chart[300],chart[3000000],s,t,n,k,a,b,c;

struct MAT{
    int mat[300][300];
    MAT(){
        for(int i = 1;i < 300;i++)
            for(int j = 1;j < 300;j++)
                mat[i][j] = inf;
    }
    
    void print(){cout << endl;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= n;j++)
                cout << mat[i][j] << ' ';
            cout << endl;
        }
    }
}S;

struct list{
    int a,b,c;
}arr[300];

int find(int x){
    int L = 1,R = Poi-1,mid;
    while(L < R){
        mid = (L+R)/2;
        if(Chart[mid] < x) L = mid+1;
        else R = mid;
    }return L;
}

void Init(){    
    sort(chart,chart+poi);
    Chart[Poi++] = chart[0];
    Poi = 1;
    for(int i = 1;i < poi;i++)
        if(chart[i] != Chart[Poi-1]) Chart[Poi++] = chart[i];
    s = find(s);
    t = find(t);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        int aa,bb;
        aa = find(arr[i].a),bb = find(arr[i].b),c = arr[i].c;
//        printf("%d %d %d
",aa,bb,c);
        S.mat[aa][bb] = S.mat[bb][aa] = c;
    }n = Poi-1;
}

MAT mul(MAT A,MAT B){
    MAT C;
    for(int k = 1;k <= n;k++)
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 1;j <= n;j++)
                C.mat[i][j] = min(C.mat[i][j],A.mat[i][k]+B.mat[k][j]);
    return C;
}

MAT ksm(MAT A,int kk){
//    printf("BFYAYIYE");
    MAT B = A; kk--;
//    if(!kk) return A; 显然这行代码没有任何问题，但是加入后这个RE了，求大佬解释啊qwq
    
    
    while(kk){
//        B.print();
        if(kk&1) B = mul(B,A);
        A = mul(A,A);
        kk >>= 1;
    }return B;
}

int main(){
    freopen("LLQ.in","r",stdin);
//    freopen("LLQ.out","w",stdout);
    
    scanf("%d%d%d%d",&k,&n,&s,&t);
    
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d%d%d",&c,&a,&b);
        arr[i].a = a;
        arr[i].b = b;
        arr[i].c = c;
//        chart[poi++] = a;
        chart[poi++] = a;
        chart[poi++] = b;
    }
    
    Init();
    
//    for(int i = 0;i <= Poi;i++) cout << Chart[i] << ' ';
    
//    S.print();
    S = ksm(S,k);
    
    printf("%d",S.mat[s][t]);
    
    return 0;
}