【数论学习笔记】 约数

定义：

　　都是废话，就不说了。

N的正约数集合——试除法：

　　依旧是试除法，和求质因数的分解基本一样，不过要扫描1到sqrt(n)，而且若d为N的约数，N/d也会是约数。代码有空再放。

求1到N每个数的正约数集合——倍数法

　　对于每一个以d为约数的数，就是d的倍数，通过翻倍来求出。代码如下。

vector<int> factor[500010];
inline void bei(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n/i;j++)
            factor[i*j].push_back(i);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<factor[i].size();j++)
            printf("%d ",factor[i][j]);
        puts("");
    }
}

最大公约数：

　　gcd(a,b) 表示 a 和 b 的最大公约数，lcm(a,b) 表示a和b的最小公倍数。gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b。

　　更相减损术：a>b gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b) gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)。

　　欧几里得算法：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 

int gcd(int a,int b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

 欧拉函数：

　　表示1到N中与N互质的数的个数称为欧拉函数。

　　算数基本定理中，n=(p1^c1)*(p2^c2)……(pm^cm) 。

　　phi(n)=n * [(p1-1)/p1] * [(p2-1)/p2]…… [(pm-1)/pm] 。

　　代码。

inline int phi(int n){
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}