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  • 约瑟夫环问题的两种实现[链表+数组]

    约瑟夫环是一个数学的应用问题:已知n个人(以编号1,2,3...n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列。

    以下是使用循环链表和数组的两种实现:

      1 #include<iostream>
      2 using namespace std;
      3  
      4 struct Node
      5 {
      6 int data;
      7 Node *next;
      8 };
      9 void CreateLink(Node* &head,int count)
     10 {
     11 if(!head)
     12 head=new Node;
     13 head->data=count;
     14 Node *pre=head;
     15 while(--count>0)
     16 {
     17 Node * cur=new Node;
     18 cur->data=count;
     19 pre->next=cur;
     20 pre=cur;
     21 }
     22 pre->next=head;//连接成环
     23 }
     24 void Traval(Node *link,int num)
     25 {
     26 Node *p=link;
     27 while(num--)
     28 {
     29 cout<<p->data<<" ";
     30 p=p->next;
     31 }
     32 }
     33 void Josephus(Node *head,int m)
     34 {
     35 Node *pre,*cur;
     36 pre=cur=head;
     37 int i=1;
     38 while(true)
     39 {
     40 if (i == m)
     41 {
     42 // 踢出环
     43 cout<<cur->data<<" ";// 显示出圈循序
     44 pre->next = cur->next;
     45 delete cur;
     46 cur = pre->next;
     47 i = 1;
     48 }
     49 pre = cur;
     50 cur = cur->next;
     51 if (pre == cur)
     52 {
     53 // 最后一个
     54 cout<<cur->data<<endl;// 显示出圈循序
     55 cout<<cur->data<<" is the winner!"<<endl;
     56 delete cur;
     57 break;
     58 }
     59 i++;
     60 }
     61 }
     62 void JosephusUseArray(int count,int m)
     63 {
     64 int *player=new int[count];
     65 for(int i=1;i<=count;i++)
     66 player[i-1]=count-(i-1);
     67 int pos=-1;
     68 int k=0;//已经出局人数
     69 while(true)
     70 {
     71 if(k==count)//全部出局,游戏结束
     72 break;
     73 int i=0;
     74 while(i<m)
     75 {
     76 pos=(pos+1)%count;
     77 if(player[pos]!=-1)
     78 i++;
     79 }
     80 k++;
     81 cout<<player[pos]<<" ";
     82 player[pos]=-1;//标识已经出局玩家
     83 }
     84 delete[] player;
     85 }
     86 int main()
     87 {
     88 int count;//总人数
     89 int m;//报数间隔
     90 cout<<"Please input total player number:";
     91 cin>>count;
     92 cout<<"Input m:";
     93 cin>>m;
     94 //以下 循环链表实现
     95 Node *link=NULL;
     96 CreateLink(link,count);
     97 cout<<"玩家初始状态:"<<endl;
     98 Traval(link,count);
     99 cout<<endl;
    100 cout<<"Game start:"<<endl;
    101 Josephus(link,m);
    102 //end
    103  
    104 //以下 数组实现
    105 JosephusUseArray(count,m);
    106  
    107 return 0;
    108 }
    另外,从别处看到了另一种非模拟游戏过程的数学解法,此处转载:
    扩展:
    无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
    为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
    问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
    我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
      k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
    现在我们把他们的编号做一下转换:
    k     --> 0
    k+1   --> 1
    k+2   --> 2
    ...
    ...
    k-2   --> n-2
    k-1   --> n-1
    变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
    如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
    令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
    递推公式
    f[1]=0;
    f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)
    有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
    由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
     1 #include <stdio.h>
     2 int main()
     3 {
     4     int n, m, i, s = 0;
     5     printf ("N M = ");
     6     scanf("%d%d", &n, &m);
     7     for (i = 2; i <= n; i++)
     8     {
     9         s = (s + m) % i;
    10     }
    11     printf ("
    The winner is %d
    ", s+1);
    12 }

    这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

    完结

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