强连通分量(strongly connected components)总结

• 概念：

1.     一个有向图是强连通的当：对图中每一点，都有一条路径从这点到达图中其他任一点。

2.     强连通分量：有向图G的最大强连通子图。

3.     一个有向图是有向无环图当且仅当任一强连通分量包含的节点数不超过1.

• 求一个图的强连通分量的算法：

　　一,Kosaraju算法

　　算法的步骤为：

• 对图G进行DFS，并按照遍历完成的先后顺序进行标号。
• 将图G中所有的边反向得到G'。
• 对G'进行DFS，每轮DFS都选择编号最大的点最为当前的遍历树的根。
• 最后，遍历得到的森林就是SCC的集合。

　　二,Tarjan算法

　　　　此算法以一个有向图作为输入，并按照所在的强连通分量给出其顶点集的一个划分。图中的每个结点只在一个强连通分量中出现，即使是在有些结点单独构成一个强连通分量的情况　　　　下（比如图中出现了树形结构或孤立结点）。

　　　　算法的基本思想如下：任选一结点开始进行深度优先搜索（若深度优先搜索结束后仍有未访问的结点，则再从中任选一点再次进行）。搜索过程中已访问的结点不再访问。搜索树的　　　　若干子树构成了图的强连通分量。

　　　　结点按照被访问的顺序存入栈中。从搜索树的子树返回至一个结点时，检查该结点是否是某一强连通分量的根结点（见下）并将其从栈中删除。如果某结点是强连通分量的根，则在　　　　它之前出栈且还不属于其他强连通分量的结点构成了该结点所在的强连通分量.

　　　　算法的关键在于如何判定某结点是否是强连通分量的根。注意“强连通分量的根”这一说法仅针对此算法，事实上强连通分量是没有特定的“根”的。在这里根结点指深度优先搜索时强　　　　连通分量中首个被访问的结点。

　　　　为找到根结点，我们给每个结点v一个深度优先搜索标号v.index，表示它是第几个被访问的结点。此外，每个结点v还有一个值v.lowlink，表示从v出发经有向边可到达的所有结点中最  　　　小的index。显然v.lowlink总是不大于v.index，且当从v出发经有向边不能到达其他结点时，这两个值相等。v.lowlink在深度优先搜索的过程中求得，v是强连通分量的根当且仅　　　　　　当v.lowlink = v.index。

　　

　　三,Gabow算法

　　<未完待续>