数据结构 4 时间复杂度、B-树 B+树 具体应用与理解

前言

面试中，经常会问到有关于MYSQL 索引的相关概念，我们之前也都学过有关树的概念、以及二叉树、二叉查找树、红黑树等。这一节，来关注经常是数据库索引中使用的B-树

在说这些之前，我们需要了解时间复杂度以及空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度，用于鉴定一个算法的好坏、很多时候，比如跑一个for 循环一个数组排序，有冒泡、二分法等方法。相比于冒泡。二分法很占优势，为什么呢?因为比较的次数少、并且做的无用功少、所以这个算法就好。

时间复杂度就是为了表示一个频繁度，这个频繁度怎么说呢。就是每执行一次循环，这就是一个频繁。

O(频度) 用O大写字符O表示，而不是零。

常见时间复杂度依次从小到大：

1. O(1) 常数阶
2. O(logn) 对数阶
3. O(n) 线性阶
4. O(n的平方) 平方阶
5. O(n的立方) 立方阶
6. O(2的n次方) (指数阶)

空间复杂度

空间复杂度，一般指占用的内存

时间换空间、空间换时间

这两个完全是可以等价交换的。比如我们想用

消耗时间长、换取占用空间少 这样会使应用程序响应变慢。但是占用内存少
消耗大量空间、换取快速的响应 例子：谷歌浏览器

B-树

切记，这里不念做B减数 这里的横岗没有任何意思，就是B树。

来说这个问题之前，首先了解一下：有关索引的简单内容。
我们都知道，索引，就是储存在本地磁盘上的一块数据结构，通过索引，我们能够快速查找数据库指定数据所在的位置。因为需要快速的查找出来。所以性能需要好的数据结构；例如：

1. 二叉查找树 时间复杂度 O(logN)

一般情况下，二叉查找树以二分法查找，时间能够大大减少、一般遍历的最多次数就是二叉树的层级高度。

我们在上面已经了解过有关时间换空间、空间换时间的概念了。所以数据库的索引必须让其快起来，那就必须使用空间去换取时间，一般的索引库都是很大的。几个G甚至更多。

一般情况下，这么大的索引，我们没办法一次性读入到内存中。必须逐一加载的内存当中才可以。

因为是磁盘，就会有读取和写入（IO）,使用二叉树虽然性能很高，但是不得不考虑磁盘的IO性能。

假设在使用二叉树来实现索引。我们查找的数字是7 最坏的情况下。也需要读取3次才可找到这个数字，那么有没有情况，就是把这个树的层级减少一些，我们读取的IO次数也就能减少。性能也就能提升。B-树就出来了

概念

将原来瘦高的二叉树变为矮胖的B-树。

B树是一种多路平衡查找树。每一个节点最多包含K个孩子，而K又被称为是B树的阶。这个阶取决于磁盘页大小。

特点

假设这个磁盘决定的B树阶为m

1. 根节点至少有两个子女。
2. 中间节点都包含（k-1）个元素和K个孩子，其中 m/2 <= k <= m

总结上面的话，就是说，这个k 就是节点的元素数量的范围取值范围在于

总是不能大于阶，并且也不能少于阶的一半。

3. 每一个叶子节点都包含(k-1)个元素，其中 m/2 <= k <= m
4. 所有叶子节点都是位于同一层的
5. 每一个节点的元素从小到大排列，它的第（k-1）个元素正好是其k个孩子所包含元素的值域。（有点难以理解）

理解一下

画出一个B树，按照上面的条条框框 我们来说一下：

1. B树根节点9 确实有两个子节点
2. 中间的节点都会包含的元素数=子节点数-1。
3. 比如2 6 这个元素的位置。

我们假设当前的k=2,所以当前节点的k-1=1 第一个元素2 正好是第2个子元素3,5的值域划分。因为

1. 2 < 3 < 6
2. 2 < 5 < 6

画个图，你就理解了。拿出原来的一小部分，我们来分析

通过箭头的指向，将子元素插入到指定的位置，你会发现什么？？

看到了么？变成了一个线性数组，并且已经排序好了的。

B- 优势

相比于二叉查找树，我们的B-树在缩短与硬盘的交互次数IO ,提升性能。每次只需要读取一个节点，通过本节点在内存中的交互，即可通过值域的方式确定当前的值在那个节点下，依次找寻即可。

B-树 插入元素

假设我们插入一个4,通过遍历，我们发现，必须要插入到这个位置：

若这样插入，其实是违反规则的，因为父节点3，5有两个元素，所以它应该有三个儿子节点才对，所以这样行不通，需要改变！

往上方观察，2,6 已经是满节点的状态，并且根节点最多包含两个节点，那只能在根节点入手了。

就需要拆分节点和发生一系列的改变，其实还是很繁琐的。
这里只需要了解这个过程即可。不需要钻牛角尖

B树优势

B树最大的优势就是自平衡
以及始终能够维持多路平衡，能够最大程度减少磁盘的IO次数而达到性能提升

应用场景

那就是数据库索引了。以及文件系统。数据库这里常见的就是MongoDB 一款非关系型数据库。

而我们常用的Mysql数据库则用的是B+树作为索引的。我们下来说一说。

B+树

所谓B+树，其实就是B树的Plus版本，更加牛皮，所以牛皮在哪儿呢？那无非就是查询性能上，查询快呗。

既然是B树的一种扩展，那么肯定的，也包含B树该有的性质它都有，B+树有的一些性质，我们这里罗列一下：

特征

假设这里存在一个m阶的B+树，

1. 有K个子节点的中间节点包含有K个元素，(B树这里是k-1),中间节点的元素不保存数据，只用来索引，所有的数据都保存在叶子节点。
2. 所有的叶子节点包含了全部的元素信息，以及指向这些元素的指针。叶子节点本身按照关键词的大小自小而大顺序排列。
3. 所有的中间节点元素都同时存在与子节点中。在子节点元素中是最大或者最小的元素。

是不是很懵逼？懵逼就对了

待会儿我们来解释一下，不要慌

1. 中间节点有三个元素，所以它有三个子节点。没毛病
2. 每个子节点都会包含父节点的一个元素，或者是最大。或者是最小。
3. 它的所有数据都是储存与叶子节点的，并且使用指针指向下一个叶子节点，形成一个链表

为什么查询性能更优？

我们知道，B树是为了减少磁盘IO而创建出来的，因为二叉树虽然快，但是内存空间有限，一下子读取不了那么多。那就必须按照磁盘页的大小，依次读取节点到内存中。在数据量相同的情况下，因为B树每个节点上都存在数据。而不一样的是，B+树只有在叶子节点才会存在数据，所以呢 同样的情况下，B+树的这种结构，一次性能够放入内存的节点数量就可以增加了。因为B+树中间节点放的是引用地址嘛，这样读取性能又能够翻一翻。

1. 单一节点储存了更多的元素。使得树更加矮胖，读取次数更少
2. 查询都需要到达叶子节点，而后通过链表遍历、更加迅速。

小结

总结一下：为了什么发明出B树，因为通过空间换取时间的概念，索引是一个非常庞大的数据结构。而且

电脑的内存大小有限 不能一次性把二叉查找树读取进去，只能一点个节点一个节点的读取到里面。内存考虑完了。

硬盘IO 速度 因为索引的庞大，所以，在磁盘读取的时候，尽量使用少次的IO读取出我们需要的值，那就是最优解，所以呢，这个二叉树看起来很瘦高，要读取的IO数量太多了。所以呢？

B树就被发明出来了。为了啥？让二叉查找树变得矮胖。减少IO次数

B+树呢？作为B树的一个Plus版本。还是由于磁盘页的大小限制，只能读取少量的B树节点到内存中。因为B树节点就带有数据。而B+树就不一样了。因为中间节点不带数据，能够一次性读取好几个节点进去处理。所以呢，性能又提升了！

奥利给！

其实说了这么多，我们可以发现，所有的优化，是建立在当前磁盘不够、IO不够、内存不够大的基础上改善的。

参考

https://mp.weixin.qq.com/s/jRZMMONW3QP43dsDKIV9VQ