题目
求1~n的全排列数目,使得对于(igeq 3),(a_{i},a_{i-1})的大小关系与(a_{i-1},a_{i-2})的大小关系不同
思路
题目还有另外一种格式:求一种全排列,使得这个排列要么满足奇数项的高度比相邻位置都大, 要么满足偶数项的高度比相邻位置都大.
设(dp_{i,j})表示用了前(i)个数字,(a_1 = j)且(a_1 > a_2)时的方案数;
有一个神奇的性质:(j-1)和(j)不相邻时,交换两数可以形成一种新的方案(比较显然),所以由(dp_{i,j-1})可以转移到(dp_{i,j}),即对于当前任意一个排列(j.......j-1.......),都有之前的一个排列(j-1.........j.......)与之对应
如果(j-1)和(j)相邻,对于当前任意一个排列(j,j-1.........),都可以用之前的一个排列(j-1..........)前面加个(j)得到(且此时(j-1)比后面的数小),即求(i-1)个数的排列数,由于这种排列不符合定义((a_1>a_2)),需要做个变换:将每个数(x)变成(i-x),如序列1,2,4,3变成4,3,1,2,(j-1)变成了(i-j+1),即(dp_{i-1,i-j+1})可以转移到(dp_{i,j})
(dp_{i,j} = dp_{i,j-1} + dp_{i-1,i-j+1}),需要滚动数组优化
#include<bits/stdc++.h>
#define N 5005
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,mod;
ll f[2][N];
int main()
{
cin>>n>>mod;
int las=0,now=1;
f[now][2]=1;//两个数只有2,1排法
for(int i=3;i<=n;++i)//用i个数
{
swap(las,now);
for(int j=1;j<=i;++j)
{
f[now][j]=(f[now][j-1]+f[las][i-j+1])%mod;
}
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i) ans=(ans+f[now][i])%mod;
cout<<ans*2%mod;
return 0;
}