[NOI2012]美食节（网络流）

题目

本题是修车的数据加强版

思路

有数量限制和花费，考虑费用流建模

显然，源点连接每个菜，流量为(p_i)，厨师连向汇点，流量为(inf)
但是菜(i)和厨师(j)在不同时间的花费是不同的，具体来说，当它是倒数第(k)道菜时，它的花费为(k imes a_{i,j})
将厨师拆点，分别对应倒数第(k)道菜，连接菜和厨师，流量设为1，花费设为(k imes a_{i,j})
跑一遍费用流即可（？）

显然这样做边是很多的，考虑优化
可以发现对于组合((i,j,k))来说，它肯定在((i,j,k+1))后面选，因为后者的花费永远小于前者，那么在((i,j,k+1))被选之前，((i,j,k))都没有必要加入图中
每求一次增广路都将这一次选择的那一个组合((i,j,k))的后一个点((i,j,k+1))加入即可

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define M 5000005
using namespace std;
int n,m,P,p[N],a[45][105];
int s,t,ndsum;
int dis[N];
int pre[N],preedge[N],flow[N];
bool exist[N];
pair<int,int> ref[N];

struct Edge
{
	int next,to,flow,dis;
}edge[M<<1]; int head[N],cnt=1;
void add_edge(int from,int to,int flow,int dis)
{
	edge[++cnt].next=head[from];
	edge[cnt].to=to;
	edge[cnt].flow=flow;
	edge[cnt].dis=dis;
	head[from]=cnt;
}
void add(int from,int to,int flow,int dis)
{
	add_edge(from,to,flow,dis);
	add_edge(to,from,0,-dis);
}

template <class T> inline T Max(T a,T b) { return a > b ? a : b; }
template <class T> inline T Min(T a,T b) { return a < b ? a : b; }
template <class T> void read(T &x)
{
	char c;int sign=1;
	while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
bool spfa()
{
	queue<int> q;
	memset(dis,100,sizeof(dis));
	memset(flow,100,sizeof(flow));
	exist[s]=1; dis[s]=0; q.push(s);
	pre[t]=-1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front(); q.pop(); 
		exist[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
		{
			int v=edge[i].to;
			if(edge[i].flow && dis[v]>dis[u]+edge[i].dis)
			{
				pre[v]=u;
				preedge[v]=i;
				flow[v]=Min(flow[u],edge[i].flow);
				dis[v]=dis[u]+edge[i].dis;
				if(!exist[v]) {q.push(v);exist[v]=1;} 
			}
		}
	}
	return (pre[t] != -1);
}

int main()
{
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(p[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  for(int j=1;j<=m;++j) 
	    read(a[i][j]);
	s=0;t=N-1;
	for(int i=1;i<=n;++i) add(s,i,p[i],0);
	ndsum=n;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		ref[++ndsum]=make_pair(i,1);//第i个人第一次菜
		add(ndsum,t,1,0);
		for(int j=1;j<=n;++j) add(j,ndsum,1,a[j][i]*1);
	}
	int mincost=0;
	while(spfa())
	{
		mincost+=flow[t]*dis[t];
		int u=ref[pre[t]].first,k=ref[pre[t]].second;//加新点 
//		cout<<u<<' '<<dis[t]<<endl;
		ref[++ndsum]=make_pair(u,k+1);
		add(ndsum,t,1,0);
		for(int i=1;i<=n;++i) add(i,ndsum,1,a[i][u]*(k+1));
		
		int now=t;
		while(now!=s)
		{
			edge[preedge[now]].flow-=flow[t];
			edge[preedge[now]^1].flow+=flow[t];
			now=pre[now];
		}
	}
	cout<<mincost<<endl;
	return 0;
}