P2320 [HNOI2006]鬼谷子的钱袋

洛谷2320 06湖南 鬼谷子的钱袋

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题目描述

鬼谷子非常聪明，正因为这样，他非常繁忙，经常有各诸侯车的特派员前来向他咨询时政。有一天，他在咸阳游历的时候，朋友告诉他在咸阳最大的拍卖行（聚宝商行）将要举行一场拍卖会，其中有一件宝物引起了他极大的兴趣，那就是无字天书。但是，他的行程安

排得很满，他他已经买好了去邯郸的长途马车标，不巧的是出发时间是在拍卖会快要结束的时候。于是，他决定事先做好准备，将自己的金币数好并用一个个的小钱袋装好，以便在他现有金币的支付能力下，任何数目的金币他都能用这些封闭好的小钱的组合来付账。鬼谷子也是一个非常节俭的人，他想方设法使自己在满足上述要求的前提下，所用的钱袋数最少，并且不有两个钱袋装有相同的大于1的金币数。假设他有m个金币，你能猜到他会用多少个钱袋，并且每个钱袋装多少个金币吗？

输入输出样例

输入样例1：

3

输出样例1：

2
1 2

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本题略水，蒟蒻的我竟然这么快ac了。

我的思路是这样的：
把钱数k的解记作a[k]，是否a[k]和a[0<l<k]存在一定的关系

1. 我先列了一个表

a[k]=
{ 1, 2, …, n
{ k−1,k−2,…,k−n
表示a[k]可以分为a[1],a[k-1];a[2],a[k-2];...;a[n],a[k-n];

2. 我尝试用数学归纳法来解这道题

k:a[k]
1:1
2:1 1
3:1 2
4:1 1 2
5:1 1 3
6:1 2 3
7:1 2 4
8:1 1 2 4
9:1 1 2 5
看到这些数据 我顿时感觉好奇特，就尝试把它们和二进制联系起来
1:1
2:1 1
4:1 1 2
8:1 1 2 4
按这样建立一个数组
当n为2^x时
n:1 1 2 4 ... n/2

再将k写成二进制的形式，累加此数组的元素，如：
4:1 1 2
5(101):1 1 (2+1)
6(110):1 (1+1) 3
7(111):1 2 (3+1)

正确性还没有证明，但由于思路不清，写废了一个

程序（wa）如下。

var
        a:array[-1..35]of Longint;
        n,t,i:Longint;
begin
        a[-1]:=1; a[0]:=1;
        for i:=1 to 30 do a[i]:=a[i-1]*2;
        readln(n);
        t:=31;
        repeat
                t:=t-1;
        until n-a[t]>0;
        n:=n-a[t];
        i:=t+1;
        while n>0 do begin
                i:=i-1;
                if n-a[i]>=0 then begin
                        n:=n-a[i];
                        a[t-i-1]:=a[t-i-1]+1;
                end;
        end;
        writeln(t+1);
        for i:=-1 to t-1 do write(a[i],' ');
end.

3. 接着准备重写，突然有了一个新的思路。

对于任意一个数n，如果把它分成n div 2 和n-(n div 2)两份，那么在a[n div 2]有解下，只要加上n-(n div 2)这一个钱袋，则a[n]有解。
在不断划分n div 2，如此重复直到剩下1。

证明：

a[n div 2]有解，记n-(n div 2)=temp，则1+temp,2+temp,...,n div 2-1+temp,n均可达到，即a[n]有解。

至于为什么不划分成三份呢？

我们用一个线段表示。

A_________________B__________________D

a[B]有解，此时加入D，则可证a[D]有解。

A___________B____________C___________D_ _ _ _ _ _E
(1). a[B]有解，此时加入D，仅能保证a[D]-a[C]有解，即BC段是不可达到的。
(2). a[C]有解，此时加入D，则不仅a[D]有解，而且a[E]也有解，即有DE段会重复。
两种情况均不能达到题目要求的最少，四分、五分等证明皆如上。

程序如下：

var
        n,t,i,k:longint;
        a:array[1..100]of Longint;

begin
        readln(n);
        t:=1;
        while n>0 do begin
                k:=n div 2;
                if odd(n) then k:=k+1;
                a[t]:=k;
                inc(t);
                n:=n-k;
        end;
        dec(t);
        writeln(t);
        for i:=t downto 1 do write(a[i],' ');
end.

记录

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补充

查阅了其他人的博客，发现此题不是唯一解，二进制的方法也可以ac。

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int m,i,sum=0;long long s=1;
    
    cin>>m;
    while(m>=s)
    {
     m=m-s;
     s=s*2;
     sum++;    
               }   
    if(m!=0&&m%2==0)
    {
    cout<<sum+m-1<<endl; 
    for(i=1;i<m;i++) cout<<1<<" "; 
    for(i=1;i<=s/4;i=i*2)
    cout<<i<<" ";
    cout<<s/2+1;
    }
    else
    {
    if(s/2<m) 
    {sum++;cout<<sum<<endl;  
    for(i=1;i<=s/2;i=i*2)
    cout<<i<<" ";
    cout<<m;system("pause");
    return 0; }
    
    cout<<sum<<endl;  
    for(i=1;i<=s/4;i=i*2)
    cout<<i<<" ";
    cout<<s/2;        
        }
    system("pause");
    return 0;
    
    }

有必要申明一下，这个思路和我的不一样。
这个程序让我想起来小学教的8421的方法。
用b[i]表示i这一个数的解，以区别a[i]
b[1]:1
b[2]:2
b[3]:1 2
b[4]:4
b[5]:1 4
b[6]:2 4
b[7]:1 2 4
b[8]:8
...

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