本来准备昨天下午写的,但是因为去参加360众测靶场的考核耽搁了,靶场的题目还是挺基础的。
继续学习吧。
使用黑色墨水在白纸上签名就像由像素点构成的稀疏矩阵。如图4所示。
图4 手写体签名
【问题】请将以下稀疏点阵信息用三元组表进行存储,并:
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(1)用稀疏矩阵快速转置法对该矩阵进行转置。转置前后的三元组表均以行序为主序。
(2) 以阵列形式输出转置前后的稀疏矩阵,如图5所示。
图5 (a)转置前 (b)转置后
先普及一下稀疏矩阵的概念:
简单理解稀疏矩阵就是元素大部分为零的矩阵,在实际生活中我们遇到的大型稀疏矩阵,如果按照常规的储存方法,就会造成大量空间的浪费,而且在访问和操作的时候也会造成大量时间上的浪费。三元组表就是为了解决这一问题而产生的解决方案之一。
稀疏矩阵由于其自身的稀疏特性,通过压缩可以大大节省稀疏矩阵的内存代价。具体操作是:将非零元素所在的行、列以及它的值构成一个三元组(i,j,v),然后再按某种规律存储这些三元组,这种方法可以节约存储空间,而这些三元组的集合,就是三元组表。
我们一步步来,将问题分解为一个个小模块,先将稀疏矩阵存储在三元组表中
因为C语言中没有三元组这种数据类型,所以我们先使用typedef定义三元组表:
typedef struct{ int i,j,val; }NODE;
i,j,val分别表示三元组表的行,列以及非零元素的值。
这里的需要储存的稀疏矩阵也一起定义了
int nums[11][10]={ {0,1,1,1,1,1,1,1,0,0}, {1,0,0,0,0,0,0,0,1,0}, {1,0,0,0,0,0,0,0,1,0}, {0,0,0,0,0,0,0,1,0,0}, {0,0,0,0,0,0,1,0,0,0}, {0,0,0,0,0,1,0,0,0,0}, {0,0,0,0,1,0,0,0,0,0}, {0,0,0,1,0,0,0,0,0,0}, {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0}, {0,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1} };
这里有一个问题是:
将稀疏矩阵存储到三元组表中时,需要记录稀疏矩阵的行列值吗?
答案是肯定的,如果不存储稀疏矩阵的行列值,当遇到稀疏矩阵最后一行全部是0的情况,由稀疏矩阵得到的三元组表,是无法还原成原来的稀疏矩阵的。
在上面的稀疏矩阵中,一共有28个非零元素,行值为11,列值为10,所以我们需要申请29个三元组的储存空间,多余的那一个储存空间用来存储稀疏矩阵的行,列值,以及稀疏矩阵中非零元素的个数
#define T 28 NODE matrix[T+1]; matrix[0].i=11; matrix[0].j=10; matrix[0].val=0;
用三元组表中第0个元素存储稀疏矩阵的基础信息
然后就到了将稀疏矩阵nums存储进三元组表的操作,遍历稀疏矩阵,当有元素为1的时候,将三元组表非零元素数量matrix[0].val++;然后依次将稀疏矩阵非零元素的信息存储进三元组表中
void init_matrix(NODE* matrix){ int i,j; for(i=0;i<matrix[0].i;i++){ for(j=0;j<matrix[0].j;j++){ if(nums[i][j]==1){ matrix[0].val++; matrix[matrix[0].val].i=i; matrix[matrix[0].val].j=j; matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j]; } } } }
存储了之后我们将三元组表输出还原成稀疏矩阵,看是否能正确还原
void put_matrix(NODE* matrix){ int i,j; int count=1; for(i=0;i<matrix[0].i;i++){ for(j=0;j<matrix[0].j;j++){ if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){ printf("%d",matrix[count].val); count++; }else{ printf("0"); } } printf(" "); } }
程序运行的结果是
可以看到显示与原稀疏矩阵相同,说明存储入三元组表是正确的
接下来我们进行三元组表的快速转置,先贴一张上课时候的PPT
当然如果直接看PPT的话很有可能还是一头雾水,所以举一个形象的例子:
一个年级有四个班的同学,一班有20人,二班有30人,三班有40人,四班有50人,全年级的同学一起到电影院看电影,进了电影院之后,告诉我们要按照班级的顺序坐座位,座位只有一排,大家进电影院的时候都是跟自己熟悉的朋友一起,自然是乱序的,那我们应该怎么才能快速依次按照班级的顺序坐座位呢?
有一个办法是,大家随便坐座位,到了位置上之后,再进行班级顺序的比较,让一班的同学坐一班的位置,二班的同学坐二班的位置等等等,但是这样两两进行比较,效率未免过于低下。
另外的一个办法是,坐座位的时候,先把人群里面的一班同学筛选出来,依次放在一班同学的位置,然后再将人群里面的二班同学筛选出来,放在一班同学的后面位置,然后。。。
思考了之后,好像没有能够只筛选(遍历)一次人群就坐好座位的办法。
当然是!有的
所以就引入快速转置三元组表的办法,即如果我们提前知道每个班有多少人,在遍历人群的时候,只需要将其放在每个班开始的位置就行了。
如人群的开始班级排列是这样的 2,3,1,4,2,2,3.。。。。第一个同学是2班的,我们将其安排在第21号座位上(假设座位号是从1开始),因为我们知道前面会有20个一班的同学要坐座位,接着二号同学是三班的,安排在51号座位,三号同学是1班的,安排在1号座位,四号同学是四班的,安排在91号座位,五号同学!又是二班的,但是原来二班的同学已经坐了21号,所以我们理所当然地坐在22号座位,后面的也是这样,只需要遍历一次原人群,就能将同学们按照顺序坐在相应的位置上了。
但是在上面的描述中,我们需要知道每个班有多少人,以及每个班的第一个位置是在哪里(比如最开始二班同学的第一个位置是21号座位,有同学坐了21号座位之后,第一个位置自然就后移成22号座位了,等待下一个同学来坐,坐了之后再继续后移),所以需要两个辅助数组来存储这两个信息
num数组用来存储每个班中的人数,cpot数组用来存储每个班的第一个位置。
在三元组表快速转置中,num[i]表示原三元组表中第i列中非零元的个数,cpot[i]表示原三元组表中第i列中第一个非零元素的在新的三元组表中的位置(cpot这一段可能有点绕,再解释一下,因为在题目中,我们需要转置之后的三元组表按照行主序排列,由于是转置之后的,说明我们的顺序在转置之前,是按照列序在新的三元组表中放置,即如果新的三元组表中有(2,1),(1,2),那么(1,2)会在(2,1)的下面,因为2>1,找到其在三元组表中对应的位置后,再进行行列转置)
接下来将新三元组表中第0元素设置好
new_matrix[0].i=matrix[0].j; new_matrix[0].j=matrix[0].i; new_matrix[0].val=matrix[0].val;
然后初始化num数组和cpot数组,这里需要提到的是两个PPT里面也显示了的关系,再贴一次:
cpot[i]表示原三元组表中第i列中第一个非零元素在新的三元组表中的位置,可以理解为同学们去看电影的时候,每个班在电影院座位上的最开始那个座位,比如二班的同学最开始是21,三班的同学是51,但是有一个显而易见的事实是(别告诉我你没看出来:-)当然没看出来也没事),一班的同学在座位中最开始的座位是1,这个是不需要遍历人群,也不需要由班级人数可以确定的,而其他每个班开始的位置,是上一个班的开始位置+上一个班的人数,如21=1+20,1是一班开始的座位,20是1班的人数,三班的同学由二班的位置又可以得到51=21+30,依次类推初始化cpot
for(i=0;i<matrix[0].j;i++){ num[i]=0; } for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){ num[matrix[i].j]++; } cpot[0]=1; for(i=1;i<matrix[0].j;i++){ cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1]; }
最后就是最关键的转置的时候了,当然经过前面这么多的铺垫,最后这一步已经显得很简单了,和大家去看电影这个例子一样,按照步骤放位置就行了。
使用tmp变量存储该元素属于哪一列(哪一个班级),first变量存储其列在新的三元组表中存储的位置(该班级同学坐的第一个位置),然后将原三元组表中的数据转置之后放进去就行了,最后让这个列在新的三元组表中存储位置后移一位(后来的该班同学只好坐在这个同学后面啦),代码已经不是很重要了
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){ tmp=matrix[i].j; first=cpot[tmp]; new_matrix[first].i=matrix[i].j; new_matrix[first].j=matrix[i].i; new_matrix[first].val=matrix[i].val; cpot[tmp]++; }
分析完了之后是不是感觉也没那么难了呢,其实关键的代码只有那么几处,慢慢分析是可以缕清思路的。
转置后输出结果为:
完整代码如下:
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define MAX 111 int nums[11][10]={ {0,1,1,1,1,1,1,1,0,0}, {1,0,0,0,0,0,0,0,1,0}, {1,0,0,0,0,0,0,0,1,0}, {0,0,0,0,0,0,0,1,0,0}, {0,0,0,0,0,0,1,0,0,0}, {0,0,0,0,0,1,0,0,0,0}, {0,0,0,0,1,0,0,0,0,0}, {0,0,0,1,0,0,0,0,0,0}, {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0}, {0,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1} }; typedef struct{ int i,j,val; }NODE; #define T 28 void put_matrix(NODE* matrix){ int i,j; int count=1; for(i=0;i<matrix[0].i;i++){ for(j=0;j<matrix[0].j;j++){ if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){ printf("%d",matrix[count].val); count++; }else{ printf("0"); } } printf(" "); } } void init_matrix(NODE* matrix){ int i,j; for(i=0;i<matrix[0].i;i++){ for(j=0;j<matrix[0].j;j++){ if(nums[i][j]==1){ matrix[0].val++; matrix[matrix[0].val].i=i; matrix[matrix[0].val].j=j; matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j]; } } } } void put_nums(){ int i,j; for(i=0;i<11;i++){ for(j=0;j<10;j++){ printf("%d",nums[i][j]); } printf(" "); } } void reverse_matrix(NODE* matrix,NODE* new_matrix){ int num[matrix[0].j],cpot[matrix[0].j]; int tmp,first,i; new_matrix[0].i=matrix[0].j; new_matrix[0].j=matrix[0].i; new_matrix[0].val=matrix[0].val; for(i=0;i<matrix[0].j;i++){ num[i]=0; } for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){ num[matrix[i].j]++; } cpot[0]=1; for(i=1;i<matrix[0].j;i++){ cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1]; } //转置存储 for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){ tmp=matrix[i].j; first=cpot[tmp]; new_matrix[first].i=matrix[i].j; new_matrix[first].j=matrix[i].i; new_matrix[first].val=matrix[i].val; cpot[tmp]++; } } int main(){ int i,j; NODE matrix[T+1],new_matrix[T+1]; matrix[0].i=11; matrix[0].j=10; matrix[0].val=0; printf("储存入三元组表前: "); put_nums(); printf("初始化三元组表..."); init_matrix(matrix); printf(" 使用三元组表按行主序进行储存后: "); put_matrix(matrix); printf("正在转置..."); reverse_matrix(matrix,new_matrix); printf(" 转置后的结果为: "); put_matrix(new_matrix); return 0; }
以上
matrix[