[U53204] 树上背包的优化

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本文旨在介绍树上背包的优化。
可见例题，例题中$N,M in [1,100000]$的数据量让$O(nm^2)$的朴素树上背包T到飞起，我们需要考虑优化。
个人会将各种优化讲到极限（当然是本蒟蒻的极限）。
根据一番学习，我也认为上下界优化最简单易理解……
上下界优化这位神犇的博客相当不错了：戳我%他
我也口胡两句吧。
普通做法：

for (j=m+1;j>=1;--j)//枚举背包容量
	for (k=1;k<j;++k)//枚举在子树中选择多少
		f[u][j]=max(f[u][j],f[u][k]+f[v][j-k]);

那么size优化非常简单好想：

for (j=min(m+1,size[u]);j>=1;--j)//枚举背包容量
	for (k=1;k<j&&k<=size[v];++k)//枚举在子树中选择多少
		f[u][j]=max(f[u][j],f[u][k]+f[v][j-k]);

道理也很简单，选完就那么多，肯定不能枚举到超过的。
于是能AC这道题，用时$17s$。
但再想想，我们选择的$k$的下界其实也是会被约束的。
因为选到$j$的总容量的时候，假定前面的全部取完，$k$都必须要到达一个值才能满足条件。
例子：
$size[u] = size[son1] + size[son2] + size[son3]$
我们枚举时，比如$j = size[son1] + size[son2] + a$的情况，
我们至少要在$son3$中取a个节点才能达到此容量。
因此就能得到上下界优化：

void dfs(int u)
{
    siz[u]=1;
    f[u][1]=a[u];
    int i,j,k,v;
    for (i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        v=to[i];
        dfs(v);
        for (j=min(m+1,siz[u]+siz[v]);j>=2;--j)//这里做了小改动，因为1的更新肯定没有意义
            for (k=max(1,j-siz[u]);k<=siz[v]&&k<j;++k)
                f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]);
        siz[u]+=siz[v];
    }
}

这里对$size$数组的更新做了特殊处理，可以更方便地得到前面所有子树的节点数总和。于是更进一步，达到了12s的成绩。
那么还能不能更快呢？其实是可以的。
我们发现内层循环需要2个判断语句，有什么办法缩成一个？
当然可以开临时变量来存，但我们甚至可以换一种dp方式！（思路来源于某位神犇，他的代码用了刷表法无师自通地进行了$O(nm)$优化导致过去“指点”的我转为“%%%”状态）

刷表法

刷表法怎么写呢？其实也很简单：

void dfs(int u)
{
    siz[u]=1;
    f[u][1]=a[u];
    int i,j,k,v;
    for (i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        v=to[i];
        dfs(v);
        for (j=min(m,siz[u]);j>=1;--j)//在之前子树&&根中选择的节点数，这里要取1是因为肯定要取根节点
            for (k=1;k<=siz[v]&&j+k<=m+1;++k)//在当前子树取得节点数
                f[u][j+k]=max(f[u][j+k],f[u][j]+f[v][k]);
        siz[u]+=siz[v];
    }
}

这时候，我们就可以将内层循环的两个判断语句合为一个了：

void dfs(int now)
{
    size[now] = 1;
    f[now][1] = w[now];
    int v;
    for (int p = head[now]; p; p = lines[p].next)
    {
        v = lines[p].to;
        dfs(v);
        for (int j = min(size[now], m); j; --j)
            for (int k = min(size[v], m + 1 - j); k; --k)
                f[now][j + k] = max(f[now][j + k], f[now][j] + f[v][k]);
        size[now] += size[v];
    }
}

省去了一个判断，对常数的优化还是不可小觑的。

下标映射

对于例题，由于$n,m$过大，开二维肯定开不下，肯定要扁平化为一维。
因为有一个超级源点，因此背包最大容量其实为$m+1$，而$[0,m+1]$间有$m+2$个位置。
故有：

inline int pos(const int &x,const int &y)
{
	return x * (m+2) + y;//注意此处x可能为0
}

但是事实上，每次都计算这个pos带来了大量的计算。多大量呢？
当初用填表法时，我将这个函数换成了$define$，总时间从$12s$提升到了$8s$。
显然因为这个$pos$反复计算，消耗了大量的时间。
那么是否还有比宏定义更优的方法呢？我翻了翻最优解，除了题目作者本人在调整数据规模时的弱数据AC外，第一位是一位名为WarlockAkk的神犇，用时仅$4.2s$！
这究竟是何等黑魔法？我点开源码开始膜拜，于是看到：

bfo(i,0,n+1){
        d[i]=spa+idx;
		idx+=m+2;
	}

这是什么意思呢？$d$是一个$int*$的数组，于是我恍然大悟：

可以预处理出一个映射数组，将二维的对映射数组的访问映射到一维的保存数组中。

具体实现方式：

int dp[100001000];
int *f[MAXN]; //f[i][j] points to the dp arr.
int k, pointer = 0;
    f[0] = &dp[0]; //special
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        pointer += m + 2;
        f[i] = &dp[pointer]; //special
    }

我们将这两行代码插入到读入的循环中，就可以得到映射数组$f$，我们就能直接用$f[i][j]$来访问了！
并且因为$f[i]$存的索引直接加上$j$就能得到地址，我们实际上避免了两个大数的乘法，而使其变成了加法。
举例：
原先访问方式：
$dp[x * (m+2) + y ]$ 进行了一次乘法一次加法
解析一下就是：

return dp + (x * (m+2) + y);

而现在的访问方式：
$(f[x] + y)$
解析一下就是：

return (f + x) + y;

效率提升相当显著。
同时注意我们的预处理方式：

int pointer = 0;
pointer += m + 2;

写成加法的形式，与乘法形式对比：

pointer = (m + 2) * i;

效率如何很显然了。
那么下标映射后到底有多快呢？
有多快呢？
我们看结论吧。

总结

填表法	填表法 with O(2)	刷表法	刷表法 with O(2)	下标映射 + 刷表法 with O(2)
$8s$	$7.5s$	$7s$	$6.5s$	$2.4s$

可以发现，吸氧对于这种情况提升不明显。
而下标映射 快、极快、巨快！

因此在卡常优化时我们可以多想想使用指针等玄学进行优化，往往会有意想不到的提升。
如$lower\_bound$等函数直接使用迭代器等……
That’s all.

Code

#pragma GCC target("avx")
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#pragma GCC optimize("-fgcse")
#pragma GCC optimize("-fgcse-lm")
#pragma GCC optimize("-fipa-sra")
#pragma GCC optimize("-ftree-pre")
#pragma GCC optimize("-ftree-vrp")
#pragma GCC optimize("-fpeephole2")
#pragma GCC optimize("-ffast-math")
#pragma GCC optimize("-fsched-spec")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-jumps")
#pragma GCC optimize("-falign-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-labels")
#pragma GCC optimize("-fdevirtualize")
#pragma GCC optimize("-fcaller-saves")
#pragma GCC optimize("-fcrossjumping")
#pragma GCC optimize("-fthread-jumps")
#pragma GCC optimize("-funroll-loops")
#pragma GCC optimize("-fwhole-program")
#pragma GCC optimize("-freorder-blocks")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns")
#pragma GCC optimize("inline-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns2")
#pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing")
#pragma GCC optimize("-fstrict-overflow")
#pragma GCC optimize("-falign-functions")
#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")
#pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps")
#pragma GCC optimize("-fsched-interblock")
#pragma GCC optimize("-fpartial-inlining")
#pragma GCC optimize("no-stack-protector")
#pragma GCC optimize("-freorder-functions")
#pragma GCC optimize("-findirect-inlining")
#pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads")
#pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop")
#pragma GCC optimize("inline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-finline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion")
#pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls")
#pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations")
#pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations")
#pragma GCC optimize("inline-functions-called-once")
#pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks")
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 100100;
inline int max(const int &a, const int &b) { return a > b ? a : b; }
inline int min(const int &a, const int &b) { return a < b ? a : b; }
char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
#define nc() p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++
template <typename T>
inline void read(T &r)
{
    static char c;r = 0;
    for (c = nc(); c > '9' || c < '0'; c = nc());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; r = (r << 1) + (r << 3) + (c ^ 48), c = nc());
}
struct node
{
    int to, next;
    node() {}
    node(const int &_to, const int &_next) : to(_to), next(_next) {}
} lines[MAXN];
int head[MAXN];
void add(const int &x, const int &y)
{
    static int tot = 0;
    lines[++tot] = node(y, head[x]), head[x] = tot;
}
int n, m;
int dp[100001000];
int *f[MAXN]; //f[i][j] points to the dp arr.
int size[MAXN], w[MAXN];
void dfs(int now)
{
    int v;
    size[now] = 1;
    f[now][1] = w[now];
    for (int p = head[now]; p; p = lines[p].next)
    {
        v = lines[p].to;
        dfs(v);
        for (int i = min(size[now], m); i; --i)
            for (int j = min(size[v], m + 1 - i); j; --j)
                f[now][i + j] = max(f[now][i + j], f[now][i] + f[v][j]);
        size[now] += size[v];
    }
}
int main()
{
    read(n);
    read(m);
    int k, pointer = 0;
    f[0] = &dp[0]; //special
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        pointer += m + 2;
        f[i] = &dp[pointer]; //special
        read(k);
        add(k, i); //we can set the point(0) into a vitual node,which is the root of the tree
        read(w[i]);
    }
    dfs(0);
    printf("%d", f[0][m + 1]);
    return 0;
}~~~