Bzoj2694/Bzoj4659:莫比乌斯反演

Bzoj2694/Bzoj4659:莫比乌斯反演

先上题面:

首先看到这数据范围显然是反演了，然而第三个限制条件十分不可做。于是我们暂且无视他，大不了补集转化算完再减是吧。

于是我们有:

这里我们定义:

于是这个东西我们可以nlogn筛的说。
也就是说，我们求出f的前缀和后，就可以O(sqrt(n)+sqrt(m))分块计算了。
然而需要减去的东西怎么办呢？
反演题最难的不是推公式，而是你推出了公式却不知道是否可做。
仔细观察以上两个式子，原式中的g(也就是上式中的t)，不就是我们枚举的gcd吗?
题面要求两个数不同时含某个平方因数，也就是他们的gcd不同时含某个平方因数。
那不就是我们原式中的g(上式中的t)不含平方因数吗?
而一个数x含平方因数，会有什么性质呢?μ(x)=0!
所以我们先枚举t，判断其μ值非0，然后去枚举h/t，更新f(h)即可。
这题取模2^30，我们直接用int自然溢出就好了。
(为什么?因为这样加减乘显然是对的，然而除法，只有在计算sum的时候会除二，这样我们会损失一位的精度。而int的正数精度为取模2^31的，损失一位后正好够用，所以我们可以这样做。理论上取模2^31我们也可以用unsigned int做，然而取模2^32就必须long long了。以上内容纯属口胡，如果因此wa了别打我就是了QAQ……)

代码:
(一开始sieve里面开的数组没加static wa了一次，身败名裂)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lli long long int
#define debug cout
using namespace std;
const int maxn=4e6+1e2,lim=4e6;
const int mod = 1 << 30;
 
int mu[maxn],f[maxn];
 
inline void sieve() {
    static int prime[maxn],cnt;
    static bool vis[maxn];
    mu[1] = 1;
    for(int i=2;i<=lim;i++) {
        if( !vis[i] ) prime[++cnt] = i , mu[i] = -1;
        for(int j=1;j<=cnt&&(lli)i*prime[j]<=lim;j++) {
            const int tar = i * prime[j];
            vis[tar] = 1;
            if( ! ( i % prime[j] ) ) break;
            mu[tar] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=lim;i++) if( mu[i] ) {
        for(int j=1;(lli)i*j<=lim;j++) f[i*j] += j * mu[j];
    }
    for(int i=1;i<=lim;i++) f[i] *= i , f[i] += f[i-1];
}
inline int sum(int x) {
    return x * ( x + 1 ) >> 1;
}
inline int calc(int n,int m) {
    if( n > m ) swap(n,m);
    int ret = 0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r = min( n / ( n / l ) , m / ( m / l ) );
        ret += ( f[r] - f[l-1] ) * sum(n/l) * sum(m/l);
    }
    return ret;
}
 
int main() {
    static int T,a,b;
    static lli ans;
    scanf("%d",&T) , sieve();
    while(T--) {
        scanf("%d%d",&a,&b) , ans = calc(a,b);
        ans = ( ans % mod + mod ) % mod;
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}