约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。
下面来一个具体的情景：
有M个敢死队员要炸掉敌人的一碉堡，谁都不想去，排长决定用轮回数数的办法来决定哪个战士去执行任务。如果前一个战士没完成任务，则要再派一个战士上去。现给每个战士编一个号，大家围坐成一圈，随便从某一个战士开始计数，当数到5时，对应的战士就去执行任务，且此战士不再参加下一轮计数。如果此战士没完成任务，再从下一个战士开始数数，被数到第5时，此战士接着去执行任务。以此类推，直到任务完成为止。指出最后一个去的人。
方法一：直接用顺序表模拟：
1 /*===========================================================================*\
2 * 约瑟夫环问题
3 *
4 * 方法一：用顺序表直接模拟
5 *
6 * 2013-05-20 by 樊列龙
7 *
8 \*===========================================================================*/
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10 #include <stdio.h>
11 #include <stdlib.h>
12 #include <malloc.h>
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14 typedef int ElemType;
15
16 typedef struct /* 定义数据结构体类型*/
17 {
18 ElemType *elem; /* 存储空间基址*/
19 int length; /* 当前长度*/
20 int listsize; /* 当前分配的存储容量(以sizeof(ElemType)为单位)*/
21 } SqList, *SqListPtr;
22
23 /* 初始化 */
24 void init_sql(SqListPtr L)
25 {
26 printf("Please input the tatal of the team:");
27 scanf("%d",&L->listsize); /*输入敢死队员总数*/
28
29 L->elem = (ElemType *)malloc((L->listsize+1) * sizeof(ElemType));
30 if(! L->elem)
31 {
32 printf("分配内存失败\n");
33 exit(0); /*存储分配失败*/
34 }
35 else
36 {
37 L->length = L->listsize;
38 int i;
39 for(i = 1; i <= L->listsize; i++)
40 {
41 (L->elem)[i] = i;
42 }
43 }
44 }
45
46 /* 删除第pos位成员 */
47 int delete_menber(SqListPtr L, int pos)
48 {
49 int i = pos;
50 int d = L->elem[pos];
51 for(; i <= L->length; i++)
52 {
53 L->elem[i] = L->elem[i+1];
54 }
55 L->length--;
56
57 return d;
58 }
59
60 int performTask(SqListPtr L)
61 {
62 int i = 1, count = 1,d;
63 for(i = 1; L->length > 1;)
64 {
65 if(count == 5)
66 {
67 count = 1;
68 d = delete_menber(L,i);
69 printf("第 %d 号去执行任务\n", d );
70 }
71 else
72 {
73 count++;
74 i++;
75 }
76 if(i > L->length)
77 {
78 i = 1;
79 }
80 }
81 }
82
83 int main()
84 {
85 SqListPtr L = (SqListPtr)malloc(sizeof(SqList));
86 init_sql(L);
87
88 performTask(L);
89 printf("最后剩下的人 %d 号\n",L->elem[1]);
90
91 return 0;
92 }
方法二：
解法二(From Net)：
思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1 #include <stdio.h> 2 int main() 3 { 4 int n, m, i, s = 0; 5 printf ("N M = "); 6 scanf("%d%d", &n, &m); 7 for (i = 2; i <= n; i++) 8 { 9 s = (s + m) % i; 10 } 11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1); 12 }