浮点数的存储与表达

计算机中的浮点数只是无限接近真实值的近似值。为什么呢？首先来看一下浮点数在计算机中是如何存储的。

浮点数的存储　　　　　　　　

计算机中浮点数的存储遵循IEEE754浮点数标准。单精度用32位存储，而双精度用64位存储。具体的存法如下（以单精度为例）：

单精度(32位) = 1位符号位+8位指数位+23位尾数位，见下图。

其中，符号位用来表示数值的符号。关于指数位和尾数位，需要先了解计算机表示浮点数的原理。计算机中，浮点数是二进制科学计数法来表示的。比如10.5(十进制)=1010.1(二进制)=1.0101 * 2^3.那这里1.0101就叫尾数，3就叫指数。这两个值会分别存入浮点数的指数和尾数区域。要注意的是：

1. 因为尾数第一位肯定为1，所以在存储的时候省略，在读取数据的时候在加上。这样会将尾数部分实际的存储能力扩大到24位。

2. 指数也有可能为负数，8位只能表示-127到128。在存储指数的时候实际是存储的原数据+127的值，读取指数数据的时候再减去127。例如：指数3，实际存储的值是3+127 = 130

指数和尾数的存储能力直接决定了其能表示数字的范围和精度：

1. 数字范围：(-1)*2^(符号位) * 尾数最大数(1.1111...) * 指数最大数(2^128) = (-3.4 * 10^38, 3.4 * 10^38)

2. 精度：尾数最多能存24位，最大值为2^24 = 16777216  这个数字能完整表示 10^7以内的整型数字，因此精度为7位

C# float类型参考

浮点数的精度误差　　　　

 小数的二进制表达：前面其实提到过，10.5的二进制是1010.1，整数部分的算法是除二取余(余数为当前位的二进制值)。小数部分的算法是乘二取整数部分作为当前位的二进制值,小数部分继续进行乘二取整。所以10.5的二进制表达为1010.1。

但是现实情况是大部分小数乘2取整的最后是一个无限循环。比如：0.99,可以一直执行乘二取整，最后也不会得到一个乘二后值为1的数字。所以这种值会变为二进制时是无法存储其精确值的，因为尾数的存储位数是有限制的。(这里的单精度为23位) 因此会有精度丢失，当从内存中取值时得到的数值其实是无限接近于真实值的近似值。

比如执行如下代码：

float fValue = 0.99F;
Console.WriteLine("float:" + fValue.ToString("G8"));
// output: 0.99000001

原因是什么呢？运用上面的存储原理可以做如下解释：0.99转换为二进制后的值为(只列出前25位)：1111110101110000101000111(25bit)，但是单精度只能存24位，那实际存储的值为:111111010111000010100011(24bit)。这里就丢掉了一位数据。当还原为10进制数时就会不够准确。其实这里我尝试还原了一下，但是得到的结果和预期不太一样（结果为:0.9899999499320983886716），可能计算过程中本身也有误差导致。还原代码如下：

static void BinToDecimal(string binString)
{
            decimal result = 0;
            int index = -1;
            foreach (var c in binString)
            {
                if (c == '1')
                {
                    result += (decimal)Math.Pow(2, index);
                }

                index -= 1;
            }

            Console.WriteLine(result);
}

上述代码如果我们这样写：

float fValue = 0.99F;
Console.WriteLine("float:" + fValue.ToString());
// output:0.99

结果就是对的，原因是fValue.ToString() 默认是显示7位精度。这样得到的结果就是0.99。

各种数据类型的ToString()方法默认显示精度见MSDN

Decimal类型　　　　　　　　
在财务计算等高精度要求的场景，浮点数的误差可能会造成严重后果。所以decimal类型适用于这种高精度的场景。decimal的存储方式是：

符号位(1bit) + 数值位(96bit) + 放大因子(31bit) = 128bit

其中数值位用来存储要表示的完整数字去掉小数点后的整数表示，放大因子决定小数点的位置。因此所能存储的数字范围为（-2^96,2^96)对应十进制:(-79228162514264337593543950336,79228162514264337593543950336).所以decimal一共是能表示精度28位的数字。不存在十进制与二进制的转换，所以不会有精度误差。所以对数值精度要求高时推荐使用decimal数据类型。