南开大学2014年硕士研究生入学考试试题（回忆版）
学院：011陈省身数学研究所、012数学科学学院
考试科目：802高等代数
专业：基础数学、应用数学、概率论与数理统计、应用数学、生物信息学
一、设$n$阶行列式$
left|egin{array}{cccc}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & cdots & {{a_{1n}}} \
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & cdots & {{a_{2n}}} \
vdots & vdots & & vdots \
{{a_{n1}}} & {{a_{n2}}} & vdots & {{a_{nn}}}
end{array}
ight|
$$ = 1$且满足${{a}_{ij}}=-{{a}_{ji}},i,j=1,2,cdots ,n$，对任意$x$，求$n$阶行列式
$
left|egin{array}{cccc}
{{a_{11}}}+x & {{a_{12}}}+x & cdots & {{a_{1n}}}+x \
{{a_{21}}}+x & {{a_{22}}}+x & cdots & {{a_{2n}}}+x \
vdots & vdots & & vdots \
{{a_{n1}}}+x & {{a_{n2}}}+x & vdots & {{a_{nn}}+x}
end{array}
ight|
$
、已知向量${{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},{{eta }_{1}},{{eta }_{2}},{{eta }_{3}}$，${{V}_{1}}$是由${{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}}$组成，${{V}_{2}}$是由${{eta }_{1}},{{eta }_{2}},{{eta }_{3}}$组成，求${{V}_{1}}+{{V}_{2}}$和${{V}_{1}}igcap {{V}_{2}}$的维数和一组基。
三、已知$
A=left(egin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & -1 & 0
end{array}
ight)
$
（1）证明${{A}^{2014}}=-{{A}^{2012}}+{{A}^{2}}+E$；
（2）求${{A}^{2014}}$
四、已知矩阵$
A=left(egin{array}{cccc}
0 & ? & ? \
？ & x & ? \
? & ? & 5
end{array}
ight)
$和矩阵$
B=left(egin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 \
0 & y & 0 \
0 & 0 & 10
end{array}
ight)
$相似
（1）求参数$x,y$；
（2）求正交矩阵$T$，使得${{T}^{-1}}AT=B$。
五、设$A$为$s imes n$矩阵，证明：
$s-rank({{E}_{s}}-A{{A}^{T}})=n-rank({{E}_{n}}-{{A}^{T}}A)$
六、设$A$为对称矩阵，存在线性无关的向量${{x}_{1}},{{x}_{2}}$，使得$x_{1}^{'}A{{x}_{1}}>0,x_{2}^{'}A{{x}_{2}}<0$，证明：存在线性无关的向量${{x}_{3}},{{x}_{4}}$，使得${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$线性相关，且$x_{3}^{'}A{{x}_{3}}=x_{4}^{'}A{{x}_{4}}=0$
七、设$delta , au $为线性变换且$delta $有$n$个不同的特征值，证明：若$delta au = au delta $，则$ au $可由
$I,delta ,{{delta }^{2}},cdots ,{{delta }^{n-1}}$线性表出，其中$I$为恒等变换。
八、已知$f(x)$是$A$的特征多项式，存在互素且次数分别为$p,q$的多项式$g(x),h(x)$且
$f(x)=g(x)h(x)$，求证：
$rankg(A)=q,rankh(A)=p$。
九、已知$A,B$都是反对称矩阵，且$A$可逆，求证：
$left| {{A}^{2}}-B ight|>0$