有限域(1)——环和素域

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　　作者：窗户

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　　有限域，顾名思义就是有限的域，我们又称它为Galois域(Galois Field)。

 　　

　　环

　　

　　说到域，首先得要讲讲环(ring)。

　　环中存在两种封闭的二元运算——加法和乘法。加法和乘法只是我们的称呼，以区别两种运算。环要满足以下条件：

　　1.环的所有元在加法上是一个交换群(Abelian Group)（满足结合律，交换律，存在e元，这里我们称之为0元，满足每个元都有唯一的逆元）。

　　2.环的所有元在乘法上是一个半群(即只要满足结合律)。

　　3.加法、乘法满足左分配律和右分配律。

　　

　　我来举几个例子，比如所有的整数在加法、乘法下就是一个环。

　　再来个复杂的例子，所有的实数下的n阶方阵在矩阵加法和矩阵乘法下也是一个环，0元为n阶0方阵。注意，这里的乘法不可交换。

　　

　　域

　　人类很早就认识到自然数，在慢慢历史长河中，加减法、乘法都是很早就产生。涉及到公平性问题，又带来了除法，于是引入了分数的概念。

　　但引入了除法之后，我们可以在整数环的基础上构造有理数域。

　　我们最常见的域有理数域就是在整数环的基础上引入除法得到的。

　　

　　不是所有的环都可以扩展成一个域的，有些环天生不足，比如刚才提到的矩阵环，不仅仅因为矩阵乘法不可交换，而且里面充斥着两个非0元乘积等于0元的情况。

　　比如

　　

　　

　　这样的元叫零因子，没有零因子的环叫整环，比如整数环。当然整数环中有一个元素也很特殊，那就是1，1和任何整数的乘积还是那个整数本身，我们可以称呼环中满足这个性质的元叫1元。

　　实际上，我们对于含有1元的交换整环，按照我们构造有理数域的方法都是可以构造成域的，这叫分式域。

　　但我们构造Galois域的方法其实还是用的其他方法，这个以后再说。

　　

　　

　　域的所有非0元在乘法下也是一个交换群(Abelian Group)。

　　域有个重要的性质，就是特征，除0元之外的每个元的加法群周期都相同，这个周期称之为特征。当然，对于我们的有理数来说来说，这个周期是无穷。如果域的特征不为无穷，而为整数，实际上是可以证明其只能为质数(Prime Number),这里不讲如何证明。

　　域有子域的概念，某个域的其中一部分元在加法、乘法上还是一个域，则这一部分元所成的域为原来域的子域。用平常的例子，我们的有理数域其实是实数域的子域，而实数域则是复数域的子域。实际上，我们的实数域、复数域有无穷多个子域。

　　比如集合 {x|x=a*√2 + b, a和b是有理数} 在加法、乘法上就是一个域。

　　

　　每个特征下都有一个独特的域，使得任何一个同样特征的域都有一个子域与之同构，则为素域，有理数域就是一个素域。

　　我们既然考虑有限域，那么针对的是特征为质数的域。

　　

　　素域

　　实际上，特征为质数的素域是很容易构造的，假如说特征为p，素域的元素个数则为p，设为0,1...p-1

　　素域内的加法定义为模p加法，也就是

      (a+b)%p

　　素域内的乘法定义为模p乘法，也就是

　　(a*b)%p

　　我们很容易证明这是一个交换环，而且存在1元。

　　对于除法，

　　a/b = a*b^p-2

　　这里的乘法和幂用的都是模p乘法。

　　我们很容易写一个scheme程序来看一个特征p素域中所有的+-*/运算：

　　

;特征为p的素域的加减乘除

;加法
(define (addp p a b)
 (if (>= (+ a b) p) (- (+ a b) p)
  (+ a b)
 )
)

;减法
(define (subp p a b)
 (addp p a (if (zero? b) 0 (- p b)))
)

;乘法
(define (mulp p a b)
 (remainder (* a b) p)
)

;求逆
(define (invp p a)
 (define (pow n a b)
  (cond
   ((zero? n) a)
   ((zero? (remainder n 2)) (pow (quotient n 2) a (mulp p b b)))
   (else (pow (quotient n 2) (mulp p a b) (mulp p b b)))
  )
 )
 (pow (- p 2) 1 a)
)

;除法
(define (divp p a b)
 (mulp p a (invp p b))
)

　　zero?这个运算有的scheme未必有，定义如下

　　(define zero? (lambda (x) (= 0 x)))

　　对于特征5的素域，我们运算一下所有的加减乘除：

　

;特征为5的素域
(define p 5)

;凑出所有的有序对
(define (list-all)
 (define (f x y)
  (let ((a (car x)) (b (cdr x)) (c (cons x y)))
   (cond
    ((> b 0) (f (cons a (- b 1)) c))
    ((> a 0) (f (cons (- a 1) (- p 1)) c))
    (else c)
   )
  )
 )
 (f (cons (- p 1) (- p 1)) '())
)

(for-each
 (lambda (x)
  (if (zero? (cdr x))
   (displayln (format "~a+~a=~a ~a-~a=~a ~a*~a=~a"
               (car x) (cdr x) (addp p (car x) (cdr x))
               (car x) (cdr x) (subp p (car x) (cdr x))
               (car x) (cdr x) (mulp p (car x) (cdr x))
               ))
   (displayln (format "~a+~a=~a ~a-~a=~a ~a*~a=~a ~a/~a=~a"
               (car x) (cdr x) (addp p (car x) (cdr x))
               (car x) (cdr x) (subp p (car x) (cdr x))
               (car x) (cdr x) (mulp p (car x) (cdr x))
               (car x) (cdr x) (divp p (car x) (cdr x))
               ))
  )
 )
 (list-all)
)

运算，得到

0+0=0 0-0=0 0*0=0
0+1=1 0-1=4 0*1=0 0/1=0
0+2=2 0-2=3 0*2=0 0/2=0
0+3=3 0-3=2 0*3=0 0/3=0
0+4=4 0-4=1 0*4=0 0/4=0
1+0=1 1-0=1 1*0=0
1+1=2 1-1=0 1*1=1 1/1=1
1+2=3 1-2=4 1*2=2 1/2=3
1+3=4 1-3=3 1*3=3 1/3=2
1+4=0 1-4=2 1*4=4 1/4=4
2+0=2 2-0=2 2*0=0
2+1=3 2-1=1 2*1=2 2/1=2
2+2=4 2-2=0 2*2=4 2/2=1
2+3=0 2-3=4 2*3=1 2/3=4
2+4=1 2-4=3 2*4=3 2/4=3
3+0=3 3-0=3 3*0=0
3+1=4 3-1=2 3*1=3 3/1=3
3+2=0 3-2=1 3*2=1 3/2=4
3+3=1 3-3=0 3*3=4 3/3=1
3+4=2 3-4=4 3*4=2 3/4=2
4+0=4 4-0=4 4*0=0
4+1=0 4-1=3 4*1=4 4/1=4
4+2=1 4-2=2 4*2=3 4/2=2
4+3=2 4-3=1 4*3=2 4/3=3
4+4=3 4-4=0 4*4=1 4/4=1