线性规划
线性规划的标准型
线性规划模型 ( LP )
- 一组决策变量
- 一个线性目标函数
- 一组线性约束条件
一般形式：
标准型：
其中，记 (c=left(c_{1}, c_{2}, cdots, c_{n} ight)^{T}, b=left(b_{1}, b_{2}, cdots, b_{m} ight)^{T}, x=left(x_{1}, x_{2}, cdots, x_{n} ight)^{T},oldsymbol{A}=left(a_{i j} ight)_{m imes n})，则线性规划标准型记为
化标准型
-
目标函数
原问题目标函数：(min quad c^{T} x quad Rightarrow max quad-c^{T} x)
-
约束条件
-
原问题条件：(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+cdots+a_{i n} x_{n} leq b_{i})
(Rightarrowleft{egin{array}{c}{a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+cdots+a_{i n} x_{n}+x_{n+i}=b_{i}} \ {x_{n+i} geq 0}end{array} ight.)，(x_{n+i}) 称为松弛变量
-
原问题条件：(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+cdots+a_{i n} x_{n} geq b_{i})
(Rightarrowleft{egin{array}{c}{a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+cdots+a_{i n} x_{n}-x_{n+i}=b_{i}} \ {x_{n+i} geq 0}end{array} ight.)，(x_{n+i}) 称为剩余变量
-
原问题：(x_i) 无非负约束，则令(left{egin{aligned} oldsymbol{x}_{i} &=oldsymbol{u}_{i}-oldsymbol{v}_{i} \ oldsymbol{u}_{i}, oldsymbol{v}_{i} & geq mathbf{0} end{aligned} ight.)
-
图解法
- 画出可行域范围
- 利用等值线平移方法求极值点
线性规划解的概念和性质
可行解：满足 (2)(3) 式的解 (x=(x_1,x_2,...,x_n)^T) 称为 ((LP)) 的可行解
可行域：(D={x | A x=b, x geq 0})
- 线性规划问题的可行域 (D) 是凸集
线性规划解的概念
基：设 (A) 为 (m imes n) 的系数矩阵，秩为 (m) 。若 (B) 为 (A) 中 (m imes m) 阶的非退化子阵，则称 (B) 为 (A) 的 (或 ((LP )) 问题) 一个基。
- 非退化子阵：又称 “非异矩阵”、“满秩矩阵”，矩阵行列式 (|A| e0)。(n) 阶方阵 (A) 是非退化的充要条件为 (A) 是可逆矩阵。
基向量：设基 (oldsymbol{B}=left(oldsymbol{P}_{i 1}, oldsymbol{P}_{i 2}, cdots, oldsymbol{P}_{i m} ight))，称 (left(oldsymbol{P}_{i 1}, oldsymbol{P}_{i 2}, cdots, oldsymbol{P}_{i m} ight)) 为基向量。
基变量：(oldsymbol{P}_{i m})对应的变量 (x_m)，不是基变量的变量称为非基变量。
基本解：取线性规划的基 (B)，令非基变量取0，(left(B^{-1} b, 0 ight)^{T}) 为对应于基 (B) 的基本解。
基本可行解：满足线性规划 ((LP)) 问题条件(3) 的基本解为基本可行解。
- 线性规划 ((LP)) 问题的解 (x) 是基本可行解的充要条件是 (x) 是可行域 (D) 的顶点
单纯形法
算法思路
从一个基本可行解开始，判断其是否为最优解，若不是则跳到下一个基本可行解，直到找到最优解。
- 如何得到第一个基本可行解
- 如何判断是否是最优解
- 如何从一个基本可行解变换到另一个基本可行解
初始基本可行解
大 (M) 法：增加人工变量使得 (z=sum_{i=1}^{n} c_{i} x_{i}-M x_{n+1}-cdots-M x_{n+m})，取 (oldsymbol{x}_{n+1}, cdots, oldsymbol{x}_{n+m}) 为初始基变量。
最优解判定条件
设经过迭代后有
则 (x_1,...,x_m) 为基变量，(x_{m+1},...,x_n) 为非基变量。
代入目标函数有
令 (z_0=sum_{i=1}^{m} c_{i} b_{i}^{prime})，(sigma_j=c_{j}-sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i j}^{prime})，则
称 (sigma_j) 为检验函数。
- 若 (x^*=(b_1^*,...,b_m^*,0,...,0)^T) 是对应于基 (B) 的一个基本可行解，且对任意 (m+1 le j le n)，有 (sigma_j le 0)，则 (x^*) 是最优解。
- 若 (x^*=(b_1^*,...,b_m^*,0,...,0)^T) 是对应于基 (B) 的一个基本可行解，且对任意 (m+1 le j le n)，有 (sigma_j le 0)，且存在 (sigma_{m+k}=0(k ge 0)) ，则线性规划问题有无穷多最优解。
单纯形表
根据上节，将线性规划问题 ((LP)) ，改写成
则单纯形表为
| (x_ 1) | (x_2) | (x_ m) | (x_ {m+1}) | (x_n) | (b) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | (cdots) | 0 | (a_{1,m+1}) | $cdots $ | (a_{1n}) | (b_1) |
| 0 | 1 | (cdots) | 0 | (a_{2,m+1}) | (cdots) | (a_{2n}) | (b_2) |
| $vdots $ | (vdots) | (vdots) | (vdots) | (vdots) | $vdots $ | ||
| 0 | 0 | (cdots) | 1 | (a_{m,m+1}) | (cdots) | (a_{mn}) | (b_m) |
| 0 | 0 | $ cdots $ | 0 | (sigma_{m+1}) | $ cdots$ | (sigma_n) | (-z_0) |
- 包含一个单位子矩阵作为基矩阵，它所对应的变量是基变量
- 最后一行称为检验数行，其中基变量的检验数为0
- 最后一列的元素对应当前基变量的取值
- 第 (m+1) 行、第 (n+1) 列的元素 (-z_0) ，表示当前基本可行解对应的目标函数值的相反数
基变换
入基变量：可选取最大的 (sigma_j) 对应的变量作为入基变量
离基变量：设入基变量 (x_k)，由(1)式计算
-
用 (x:=y) 表示命题 (x) 定义为等于 (y)
-
结合(1)式计算需注意，(a_{lk}) 前面符号是减号
({x_{m}=b_{m}^{prime}-sum_{j=m+1}^{n} a_{m j}^{prime} x_{j}})
选取 (x_l) 为离基变量。
单纯性法算法步骤
-
确定初始基本可行解，建立初始单纯形表
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看检验数，若 (sigma_j le 0(j=m+1,..,n)) 则当前基本可行解就是最优解，算法结束。否则转(3)
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若存在 (sigma_k>0) 使得其对应的变量 (x_k) 的系数列向量 (P_kle0)，则线性规划问题的解无界，算法结束。否则转(4)
-
设 (max left(sigma_{j}>0 ight)=sigma_{k})，选取 (x_k) 为入基变量。计算
[oldsymbol{ heta}=min left{frac{oldsymbol{b}_{i}}{oldsymbol{a}_{i k}} | oldsymbol{a}_{i k}>oldsymbol{0} ight} :=frac{oldsymbol{b}_{l}}{oldsymbol{a}_{l k}} ]选取 (x_l) 为离基变量。转(5)
-
以 (a_{lk}) 为主元旋转。即利用行变换，将第 (k) 个系数列向量变换为只有 (a_{lk}=1) 其他元素都为 0 的列。