[数学] Jzoj P3912 超氧化钾

Description

作为一个化学小考只有77分的同学，小W感觉很有压力，所以他决定搞化学。今天他开始研究超氧化钾，这是一种很神奇的离子化合物，在高温下空间结构是立方体，如下图所示。有一天教黄交给了小W一个任务：根据教黄多年淘金的经验，他发现超氧化钾有一个神奇的性质就是如果一组有序的整数(x,y,z)满足z=x mod 1+x mod 2+…+x mod y，那么对于超氧化钾来说这个位置上的离子就是一个关键离子。通过用回旋加速器得到高速粒子来攻击这个离子，他就可以获得铜铝制金法的催化剂。现在教黄想知道对于一个给定的x和y对应的z值是多少。

 

Input

两个整数x,y。

Output

一个整数z。

 

Sample Input

1 1

Sample Output

0

 

Data Constraint

40%的数据，y<=10^5。
100%的数据，1<=x,y<=10^9。

题解

• 首先，40%的数据，直接暴力做就好了
• 100%，找规律
• 对于y>x的数，显然在y-x后面这一段都是x，这个应该没问题
• 然后我们就可以找到这个规律 [x/p+1~x/(p-1)]是一个公差为p-1的等差数列
• 然后就没有然后了

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll x,y,ans,l,r,k,inf=1e5;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&x,&y);
    if (y<=inf)
    {
        for (ll i=1;i<=y;i++) ans+=x%i;
        printf("%lld
",ans); return 0;
    }
    for (int i=2;i;i++)
    {
        if (x/(i-1)<inf) { k=min(x/(i-1),y); break; }
        l=x/i+1,r=min(x/(i-1),y),ans+=(x%l+x%r)*(r-l+1)/2;
    }
    for (ll i=2;i<=k;i++) ans+=x%i;
    if (x<y) ans+=(y-x)*x;
    printf("%lld",ans);
}