[hash][差分][虚树] Jzoj P6011 天天爱跑步

Description

长跑的目的不是更快，而是更强。 ——zjp’s blog
zjp最近迷上了长跑。为了防止被zjp强锋吹拂，小狗们决定躲到狗窝里去，现在已知有n条狗在一个二维平面直角坐标系的第一象限内。
狗是一种特殊的生物，每只在(x, y)的狗走一步只能到达(x + y, y),(x, y +x),(x − y, y),(x, y − x)这四个位置中的任意一个。并且任何时候，狗都不能在坐标轴上或在到达其它象限内的位置。
每个狗窝只能容纳一条狗，我们知道n个狗窝的坐标（也在第一象限内），每条狗不一定要到其对应编号的狗窝。
经过狗精密的计算发现，当所有狗到达狗窝的步数和最小时，狗是最安全的，尽管有的狗可能要走较多的步数。
现在，你只需要告诉他们：所有狗都到达狗窝的最小步数和。

 

Input

从文件a.in中读入数据.
第一行，包含一个正整数n，表示狗以及狗窝数。
接下来n行，每行包含两个正整数，表示每只狗的最初位置。
接下来n行，每行包含两个正整数，表示每个狗窝的位置。

Output

输出到文件a.out中.
仅包含一行，一个整数，表示所有狗都到达狗窝的最小步数和。

 

Sample Input

Sample Input1
1
203 235
481 171

Sample Input2
2
1 2
4 7
3 2
7 3

Sample Output

Sample Output1
6

Sample Output2
3
 

 

Data Constraint

对于所有数据，有n ≤ 5 × 10^4，坐标范围≤ 10^18，保证任意一对狗和狗窝可达。
设最远的一对狗和狗窝相距m步。
• 对于10%的数据：n = 1，1 ≤ m ≤ 14
• 对于30%的数据：n = 1，1 ≤ m ≤ 500
• 对于50%的数据：n ≤ 200，1 ≤ m ≤ 500
• 对于70%的数据：n ≤ 10^4，1 ≤ m ≤ 500
• 对于最后30%的数据,没有特殊的约定

题解

• 题目大意：给定n个狗和n个狗窝，每只狗只能向(x+y,y)(x-y,x)(x,y+x)(x,y-x)四个方向走，问每个狗都有窝住的最小步数和
• 其实狗往狗窝走和狗窝往狗走的代价其实是一样的，这样的话就可以把狗和狗窝看成等价的点
• 题目上有一句话“狗都不能在坐标轴上或在到达其它象限内的位置”，也就是狗只能在一次象限里，那么反观狗走的四个方向，肯定是有一个方向是走不了的
• 对于剩下的三个方向，有两个是向下走的，有一个是向上走的，把加看成是儿子，把减看成是父亲，这不就形成了一棵二叉树的形状
• 就可以把狗和狗窝全部打进一棵二叉树中，但是这样的话，这棵树显然会大到爆炸，那么我们就可以只用把有用的点和状态记录下来，也就类似与建一棵虚树
• 对于存点的话，可以用hash或map，不过hash快很多
• 那么狗和狗窝的距离，显然就是在树上两点到lca的距离和
• 令狗代表的点的权值为1，狗窝代表的点的权值为-1，将每个点到根的路径都加上该点的权值，类似于树上差分的思想，最终的答案就是所有的点的权值*边的长度之和
• 最后来考虑一下，这个树边的长度该怎么求，其实求步数其实就类似与求gcd的过程，辗转相除法

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define M 4000010
#define N 50010
#define mo 19260817
#define Hash 4000
using namespace std;
struct edge { int to,from; }e[M];
struct node { ll l,r; }Q[M];
int n,cnt,tot,hash[mo],f[M],P[2*N],p[N],q[N],head[M],L[M],R[M],bz[Hash+10][Hash+10];
ll ans,x,y;
bool cmp1(int x,int y) { return Q[x].l<Q[y].l; }
bool cmp2(int x,int y) { return Q[x].r<Q[y].r; }
int gethash(ll x,ll y)
{
    if (x<=Hash&&y<=Hash)
    {
        if (!bz[x][y]) bz[x][y]=++tot,Q[tot]=(node){x,y};
        return bz[x][y];
    }
    int p=(x%mo*20+y%mo*11)%mo;
    while (hash[p]&&(Q[hash[p]].l!=x||Q[hash[p]].r!=y)) p=(p+1)%mo;
    if (!hash[p]) hash[p]=++tot,Q[tot]=(node){x,y};
    return hash[p];
}
int insert(ll x,ll y)
{
    int p=gethash(x,y),q=0;
    if (x&&y)
    {
        if (x<y) q=(y%x==0)?insert(x,x):insert(x,y%x); else q=insert(x%y,y);
        e[++cnt].to=p,e[cnt].from=head[q],head[q]=cnt;
    }
    return p;
}
void calc(ll x,ll y)
{
    if (!x) return;
    calc(L[x],(Q[L[x]].l-Q[x].l)/Q[x].r);
    if (Q[x].l) calc(R[x],(Q[R[x]].r-Q[x].r)/Q[x].l);
    f[x]+=f[L[x]]+f[R[x]],ans+=y*abs(f[x]);
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin),freopen("a.out","w",stdout),scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&x,&y),p[i]=insert(x,y);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&x,&y),q[i]=insert(x,y);
    for (int i=1;i<=tot;i++)
    {
        P[P[0]=1]=i; for (int j=head[i];j;j=e[j].from) P[++P[0]]=e[j].to;
        if (Q[i].l<Q[i].r) sort(P+1,P+P[0]+1,cmp1); else sort(P+1,P+P[0]+1,cmp2);
        for (int j=2;j<=P[0];j++) if (P[j]^P[j-1]) if (Q[i].l<Q[i].r) L[P[j-1]]=P[j]; else R[P[j-1]]=P[j];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) f[p[i]]++,f[q[i]]--;
    for (int i=1;i<=tot;i++) if (!Q[i].l) calc(i,0);
    printf("%lld",ans);
}