[数论] 洛谷 P1641 生成字符串

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出格式：

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

输入输出样例

输入样例#1：

2 2

输出样例#1：

2

说明

limitation

每点2秒

对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000

对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

题解

• 对于这题，我们可以考虑将全部的方案-不合法的方案=合法的方案
• 先来考虑一下全部的方案，字符串的长度为n+m，在里面放n个1，方案数就是C(n+m,n)
• 那么怎么求出不合法的情况的方案呢
• 我们把放0、1当做是在平面直角坐标系上，放1就当做是(+1,+1)，放0就当做是(+1,-1)那么当直线到达(x,-1)时，就是不合法的
• 然后我们把y=-1当做是对称轴，将我们形成的直线对称下来，然后我们可以发现其实就是从(0,-2)开始到达(n+m,n-m)的方案数就是不合法滴
• 最后的话，答案就是C(n+m,n)-C(n+m,m-1)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mo=20100403;
ll n,m,p[2000050],q[2000050];
ll C(ll x,ll y) { return q[x]*p[y]%mo*p[x-y]%mo; }
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m),p[0]=p[1]=q[0]=q[1]=1;;
    for (ll i=2;i<=n+m;i++) p[i]=(mo-mo/i)*p[mo%i]%mo,q[i]=q[i-1]*i%mo;
    for (ll i=2;i<=n+m;i++) p[i]=p[i-1]*p[i]%mo;
    printf("%lld",((C(n+m,m)-C(n+m,m-1))%mo+mo)%mo);
    return 0;
}