[spfa][dp] 洛谷 P1772 物流运输

题目描述

物流公司要把一批货物从码头A运到码头B。由于货物量比较大，需要n天才能运完。货物运输过程中一般要转停好几个码头。物流公司通常会设计一条固定的运输路线，以便对整个运输过程实施严格的管理和跟踪。由于各种因素的存在，有的时候某个码头会无法装卸货物。这时候就必须修改运输路线，让货物能够按时到达目的地。但是修改路线是—件十分麻烦的事情，会带来额外的成本。因此物流公司希望能够订一个n天的运输计划，使得总成本尽可能地小。

输入输出格式

输入格式：

第一行是四个整数n(l≤n≤100)、m(l≤m≤20)、K和e。n表示货物运输所需天数，m表示码头总数，K表示每次修改运输路线所需成本，e表示航线条数。接下来e行每行是一条航线描述，包括了三个整数，依次表示航线连接的两个码头编号以及航线长度(>0)。其中码头A编号为1，码头B编号为m。单位长度的运输费用为1。航线是双向的。再接下来一行是一个整数d，后面的d行每行是三个整数P(1<P<m)，a，b(1≤a≤b≤n)。表示编号为P的码头从第a天到第b天无法装卸货物（含头尾）。同一个码头有可能在多个时间段内不可用。但任何时间都存在至少一条从码头A到码头B的运输路线。

输出格式：

包括了一个整数表示最小的总成本。总成本=n天运输路线长度之和+K*改变运输路线的次数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

  5 5 10 8
  1 2 1
  1 3 3
  1 4 2
  2 3 2
  2 4 4
  3 4 1
  3 5 2
  4 5 2
  4
  2 2 3
  3 1 1
  3 3 3
  4 4 5

输出样例#1： 复制

32

说明

【样例输入说明】

上图依次表示第1至第5天的情况，阴影表示不可用的码头。

【样例输出说明】

前三天走1-4-5，后两天走1-3-5，这样总成本为(2+2)*3+(3+2)*2+10=32。

题解

• 首先，我们观察数据看到，m很小，然后我们就可以一边跑dp一边跑最短路
• 设f[i]表示到第i天的最小花费是多少
• 这样的话我们要考虑的就是一条最短路在合法时用多久了
• 因为影响答案最优的就是每次换路的花费
• 那么我们就枚举第i到j天用当前合法的最短路就可以了
  
• 状态转移方程就是 f[i]=min(f[i],f[j−1]+spfa∗(i−j+1)+k)

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=21;
int n,m,k,e,Q,vis[N],inf,bz[N][101],f[101],dis[N][N],ds[N],visit[N];
int spfa()
{
    queue<int>Q; Q.push(1),memset(ds,127,sizeof(ds)),memset(visit,0,sizeof(visit));
    inf=ds[0],ds[1]=0;visit[1]=1;
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.front(); Q.pop(),visit[u]=0;
        for (int i=1;i<=m;i++)
            if (!vis[i])
            {
                if (dis[u][i]&&ds[i]>ds[u]+dis[u][i])
                {
                    ds[i]=ds[u]+dis[u][i];
                    if (!visit[i]) Q.push(i),visit[i]=1;
                }
            }
    }
    return ds[m];
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&e);
    for (int i=1,x,y,v;i<=e;i++) scanf("%d%d%d",&x,&y,&v),dis[x][y]=dis[y][x]=v;
    scanf("%d",&Q);
    for (int i=1,l,r,x;i<=Q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);
        for (int j=l;j<=r;j++) bz[x][j]=1;
    }
    memset(f,127,sizeof(f)),f[0]=-k;
    for (int i=1,d;i<=n;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for (int j=i;j>=1;j--) 
        {
            for (int z=1;z<=m;z++) vis[z]|=bz[z][j];
            if ((d=spfa())==inf) continue;
            f[i]=min(f[i],f[j-1]+(i-j+1)*d+k);
        }
    }
    printf("%d",f[n]);
}