[欧拉函数][dp][快速幂] Jzoj P1161 机器人M号

Description

3030年，Macsy正在火星部署一批机器人。 第1秒，他把机器人1号运到了火星，机器人1号可以制造其他的机器人。 第2秒，机器人1号造出了第一个机器人——机器人2号。 第3秒，机器人1号造出了另一个机器人——机器人3号。 之后每一秒，机器人1号都可以造出一个新的机器人。第m秒造出的机器人编号为m。我们可以称它为机器人m号，或者m号机器人。 机器人造出来后，马上开始工作。m号机器人，每m秒会休息一次。比如3号机器人，会在第6，9，12，……秒休息，而其它时间都在工作。 机器人休息时，它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如6号机器人出生时，2，3号机器人正在休息，因此，6号机器人会收到第2，3号机器人的记忆副本。我们称第2，3号机器人是6号机器人的老师。 如果两个机器人没有师徒关系，且没有共同的老师，则称这两个机器人的知识是互相独立的。注意：1号机器人与其他所有机器人的知识独立（因为只有1号才会造机器人），它也不是任何机器人的老师。 一个机器人的独立数，是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的个数。比如1号机器人的独立数为0，2号机器人的独立数为1（1号机器人与它知识互相独立），6号机器人的独立数为2（1，5号机器人与它知识互相独立，2，3号机器人都是它的老师，而4号机器人与它有共同的老师——2号机器人）。 新造出来的机器人有3种不同的职业。对于编号为m的机器人，如果能把m分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号15；否则，如果m本身就是奇素数或者能把m分解成奇数个不同奇素数的积，则它是军人，例如编号 3, 编号165。其它编号的机器人都是学者，例如编号2, 编号6, 编号9。 第m秒诞生的机器人m号，想知道它和它的老师中，所有政客的独立数之和，所有军人的独立数之和，以及所有学者的独立数之和。可机器人m号忙于工作没时间计算，你能够帮助它吗？ 为了方便你的计算，Macsy已经帮你做了m的素因子分解。为了输出方便，只要求输出总和除以10000的余数。

 

Input

输入文件的第一行是一个正整数k(1<=k<=1000)，k是m的不同的素因子个数。 以下k行，每行两个整数，pi, ei,表示m的第i个素因子和它的指数(i = 1, 2, …, k)。p1, p2, …, pk是不同的素数。所有素因子按照从小到大排列，即p1<p2<…<pk。输入文件中，2<=pi<10,000, 1<=ei<=1,000,000。

Output

输出文件包括三行。 第一行是机器人m号和它的老师中，所有政客的独立数之和除以10000的余数。 第二行是机器人m号和它的老师中，所有军人的独立数之和除以10000的余数。 第三行是机器人m号和它的老师中，所有学者的独立数之和除以10000的余数。

 

Sample Input

3 2 1 3 2 5 1

Sample Output

8 6 75

Hint

样例解释： m=2*3^2*5=90。90号机器人有10个老师，加上它自己共11个。其中政客只有15号；军人有3号和5号；学者有8个，它们的编号分别是：2,6,9,10,18,30,45,90

题解

• 梳理一下题目意思：
• ①独立数时小于等于的m与互质的数（包括1）
• ②一个数的老师是这个数的因数（不包括1）
• ③政客：对于一个数x，如果x可以转换为偶数个不同的素因子的积
• ④军人：对于一个数x，如果x可以转换为奇数个不同的素因子的积
• ⑤学者：对于m的老师x，如果x既不是政客又不是军人，那它就是学者
• 对于一个数的独立数其实就是它的欧拉函数和
• 设f[i]为m的所有大于2的质因数中的选择i个质因数的欧拉函数和
• 那么政客的独立数就是∑f[i]且(i%2==0)
• 军人的独立数就是∑f[i]且(i%2==1)
• 那么考虑学者的独立数和怎么求？
• 这又要用到欧拉函数的一个性质：n=∑d|nϕ(d)
• m的所有的约数的欧拉函数之和为m
• 也就是说学者的独立数和：m-军人-政客-1

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int mod=10000;
int k,c[1010][2],f[1010],ans1=0,ans2=0,ans=1,g;
int mi(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
        if (b%2) ans=(ans*a)%mod;
        b/=2;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&k);
    for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%d%d",&c[i][0],&c[i][1]);
    if (c[1][0]==2) g=2; else g=1;
    f[0]=1;
    for (int i=g;i<=k;i++)
        for (int j=i-g+1;j>=1;j--)
            f[j]=(f[j]+f[j-1]*(c[i][0]-1))%mod;
    for (int i=1;i<=k-g+1;i++)
        if (i%2) ans1=(ans1+f[i])%mod; else ans2=(ans2+f[i])%mod;
    for (int i=1;i<=k;i++) ans=(ans*mi(c[i][0],c[i][1]))%mod;
    ans=(ans+10000000-ans1-ans2-1)%mod;
    printf("%d
%d
%d
",ans2,ans1,ans);
    return 0;
}