[组合数][枚举] Jzoj P3332 棋盘游戏

Description

有一个N*M的棋盘，初始每个格子都是白色的。
行操作是指选定某一行，将这行所有格子的颜色取反（黑白互换）。
列操作是指选定某一列，将这列所有格子的颜色取反。
XX进行了R次行操作C次列操作（可能对某行或者某列操作了多次），最后棋盘上有S个黑色格子。
问有多少种不同的操作方案。两种操作方案不同，当且仅当对某行或者某列操作次数不同（也就是说与操作的顺序无关）。
方案数可能很大，输出它对10^9+7取模的结果。

 

Input

输入只有5个整数N，M，R，C，S。

Output

输出有且仅有一个整数，表示答案对10^9+7取模的结果。

 

Sample Input

2 2 2 2 4

Sample Output

4

 

Data Constraint

对于20%的数据，满足N，M，R，C≤4。
对于60%的数据，满足N，M，R，C≤1500。
对于100%的数据，满足N，M，R，C≤100000，0≤S≤N*M。

题解

• 首先，题目告诉不同情况是在不同的操作次数决定的，与顺序无关
• 那么可以设行进行了i次有效操作，列进行了j次有效操作
• 那么容易得出n*i+m*j-2*i*j=s
• 移项得：s-n*i=m*j-2*i*j
• 合并同类项：s-n*i=(m-2*i)*j
• 系数化为1：j=(s-n*i)/(m-2*i)
• 然后，在观察一下这个式子
• 发现，对于m-2*i也就是分母
• 那么如果分母等于0，在除法运算中是无解的
• 如果n*i也等于m时
• 其实时也是有解滴
• 这样的话就可以分类讨论了：
• ①如果m-2*i≠0，且s-n*i可以整除m-2*i
• 那么就可以解出j的值
• ②如果2*i=m，且2*i=n
• 那么就可以在min(m,c)中枚举j的值
• 现在就差如果求一个i，j对答案的贡献：
• 发现，对于n-i和m-j必定是偶数
• 不然的话，可以多几次有效操作
• 在n行或列分配i个有效操作的方案数是C(n,i)
• 在考虑一下剩下的无效操作
• 相当于有n个物品m个箱子，箱子是不同的，物品是相同的，把物品放进去
• 箱子里没有物品，方法数等于C(n+m-1,m-1)
• 那么一对i,j对于答案的贡献就是：C(n,i)*C(m,j)*C((n-i)/2+n-1,n-1)*C((m-j)/2+m-1,m-1)

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long mo=1000000007;
const long long N=200010;
long long n,m,r,c,s,ans,a[200010],b[200010];
long long C(int x,int y) { return a[x]*b[y]%mo*b[x-y]%mo; }
long long C1(int x,int y) { return !y?1:C(x+y-1,y-1); }
void calc(int i,int j) { if (((r-i)%2==0)&&((c-j)%2==0)) ans=(ans+C(n,i)*C(m,j)%mo*C1((r-i)/2,n)%mo*C1((c-j)/2,m)%mo)%mo; }
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&c,&s);
    a[0]=b[0]=b[1]=1;
    for (int i=1;i<N;i++) a[i]=a[i-1]*i%mo;
    for (int i=2;i<N;i++) b[i]=(mo-mo/i)*b[mo%i]%mo;
    for (int i=2;i<N;i++) b[i]=(b[i]*b[i-1])%mo;
    for (long long i=0;i<=min(r,n);i++)
        if (i*2==n)    
        {
            if (i*m==s) for (long long j=0;j<=min(c,m);j++) calc(i,j);
        }
        else 
            if ((s-i*m)%(n-2*i)==0)
            {
                long long j=(s-i*m)/(n-2*i);
                if (j>=0&&j<=min(c,m)) calc(i,j);
            }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}