[欧拉回路][状压dp] Jzoj P3290 吃货JYY

Description

世界上一共有N个JYY愿意去的城市，分别从1编号到N。JYY选出了K个他一定要乘坐的航班。除此之外，还有M个JYY没有特别的偏好，可以乘坐也可以不乘坐的航班。
一个航班我们用一个三元组(x,y,z)来表示，意义是这趟航班连接城市x和y，并且机票费用是z。每个航班都是往返的，所以JYY花费z的钱，既可以选择从x飞往y，也可以选择从y飞往x。
南京的编号是1，现在JYY打算从南京出发，乘坐所有K个航班，并且最后回到南京，请你帮他求出最小的花费。

 

Input

输入数据的第一行包含两个整数N和K；
接下来K行，每行三个整数x，y，z描述必须乘坐的航班的信息，数据保证在这K个航班中，不会有两个不同的航班在同一对城市之间执飞；
第K+2行包含一个整数M；
接下来M行，每行三个整数x，y，z 描述可以乘坐也可以不乘坐的航班信息。

Output

输出一行一个整数，表示最少的花费。数据保证一定存在满足JYY要求的旅行方案。

 

Sample Input

6 3
1 2 1000
2 3 1000
4 5 500
2
1 4 300
3 5 300

Sample Output

3100

 

Data Constraint

对于10%的数据满足N≤4；
对于30%的数据满足N≤ 7；
对于额外30%的数据满足，JYY可以只通过必须乘坐的K个航班从南京出发到达任意一个城市；
对于100%的数据满足2≤N≤13，0≤K≤78，2 ≤M ≤ 200，1 ≤x,y ≤N，1 ≤z ≤ 10^4。

 

Hint

样例说明：一个可行的最佳方案为123541。 机票所需的费用为1000+1000+300+500+300=3100。

题解

• 题目大意：给出k条必须走的路线，和m条选择走的路线，求一条经过k条必须走路径从1出发又回到1的路径（每条路都是双向的，只用给一份钱）
• 对于答案就是连通图里的一个子图，这个子图保证是欧拉图
• 首先，我们可以用Floyd求出任意两点的最短距离
• 然后可以用f[s]，求出当前跑了的点的状态为s的最短距离
• 因为最后答案绝对是一个连通图
• 那么，可以把1先打进连通图
• 然后不断往连通图里添加点和边
• 对于一个欧拉图，任意一点的度都为偶数，不然不满足欧拉图的性质（有进无出）
• 那么可以用三进制压缩状态，0表示与连通图不相连，1表示度数为奇数，2表示度数为偶数
• 那么对于往连通图里加边，有两种情况：
• ①i与一条必须走的路径与连通图相连
• 因为这条边必须被经过一次，那么这条边不产生额外代价
• ②i与连通图里的一个点j直接相连，它们之间的距离就是两点之见的距离（预处理得出）
• 以上加点加边都要改变它们的奇偶性，也就是2——1，1——2
• 如果这时，求出了连通图的最小代价，其实不一定满足每一个点的度数都为奇数
• 那么可以将它们两两配对
• 将其最短距离加入图中
• 最后还要加上k条边的代价
• 就是answer

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
queue<int>Q;
int n,m,dis[16][16],cnt,head[16],f[10000],g[1600005],t[16],mi[16],a[16],d[16];
struct edge { int to,from,v; }e[100];
void insert(int x,int y,int z) { e[++cnt].to=y; e[cnt].from=head[x]; e[cnt].v=z; head[x]=cnt; }
void floyd()
{
    for (int k=1;k<=n;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);
}
void zy_dp()
{
    memset(f,inf,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for (int i=0;i<mi[n];i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (!(i&mi[j-1]))
                for (int k=j+1;k<=n;k++)
                    if (!(i&mi[k-1]))
                        f[i^mi[j-1]^mi[k-1]]=min(f[i]+dis[j][k],f[i^mi[j-1]^mi[k-1]]);
}
void dp()
{
    memset(g,inf,sizeof(g));
    g[2]=0; Q.push(2);
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.front(),tot=0; Q.pop();
        for (int i=1;i<=n;i++) if (u/t[i-1]%3>0) a[++tot]=i;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            if (u/t[i-1]%3==0)
            {
                for (int j=head[i];j;j=e[j].from)
                    if (u/t[e[j].to-1]%3>0)
                    {
                        int k=u+t[i-1]*2;
                        if (g[u]>=g[k]) continue;
                        if (g[k]==inf) Q.push(k);
                        g[k]=g[u];
                    }
                for (int j=1;j<=tot;j++)
                {
                    int k=u+t[i-1];
                    k+=(u/t[a[j]-1]%3==1)?t[a[j]-1]:-t[a[j]-1];
                    if (g[u]+dis[i][a[j]]>=g[k]) continue;
                    if (g[k]==inf) Q.push(k);
                    g[k]=g[u]+dis[i][a[j]];
                }
            }
    }
}
void calc()
{
    int ans=inf;
    for (int i=0;i<t[n];i++)
    {
        int boo=0;
        for (int j=1;j<=n;j++) if (head[j]&&!((i/t[j-1])%3)) { boo=1; break; }
        if (boo) continue;
        int k=i;
        for (int j=1;j<=n;j++) if (d[j]%2==1) if (i/t[j-1]%3==1) k+=t[j-1]; else k-=t[j-1];
        int w=0;
        for (int j=1;j<=n;j++) if (k/t[j-1]%3==1) w^=mi[j-1];
        ans=min(ans,g[i]+f[w]);
    }
    for (int i=1;i<=cnt;i+=2) ans+=e[i].v;
    printf("%d",ans);
}
int main()
{
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    mi[0]=t[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*2,t[i]=t[i-1]*3;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],z);
        d[x]++; d[y]++;
        insert(x,y,z); insert(y,x,z);
    }
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],z);
    }
    floyd(); zy_dp(); dp(); calc();
    return 0;
}