[组合数][前缀和][快速幂][容斥原理] Jzoj P3466 选课

Description

你真的认为选课是那么容易的事吗？HYSBZ的ZY同志告诉你，原来选课也会让人产生一种想要回到火星的感觉。假设你的一周有n天，那么ZY编写的选课系统就会给你n堂课。但是该系统不允许在星期i和星期i+1的时候选第i堂课，也不允许你在星期n和星期一的时候选第n堂课。然后连你自己也搞不清哪种选课方案合法，哪种选课不合法了。你只想知道，你到底有多少种合法的选课方案。

 

Input

有多组数据，请读到文件末结束。

对于每组数据仅一行，1个正整数 n。

Output

对于每组输出只有一行，1个非负整数，为选课方案数量 mod (10^9+7). 

 

Sample Input

2

4

Sample Output

0

2

【样例解释】

  对于样例二：

  周一上第二堂课，周二上第三堂课，周三上第四堂课，周四上第一堂课；

  周一上第三堂课，周二上第四堂课，周三上第一堂课，周四上第二堂课。

共2种选课方案。

 

 

Data Constraint

对于第i组数据，n<=10*i, 1<=i<=3

对于100%的数据：1<=n<=100000

题解

• 先给大家送上一句话：水法真神奇，暴力出奇迹！！！
• 大爷说这题可以打表找规律！！！大爷说这题可以打表找规律！！！大爷说这题可以打表找规律！！！
• 重要的事请说三遍
• 规律：f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)+f[i-3]
• 以上是水法时间
• 正解要来啦：
• 对于这题，我们可以反向思维求错误的方案数
• 容斥原理，假设有 1 堂课所在的天数是错误的情况数是 W(1)
• 则每个错误的课程 i 可以放在 i 或 i+1 天，剩下的选课方法数是(n-1)!
• 所以 w(1)=C(n,1)*2*(n-1)!
• 那么对于 2 个以上的情况，假设有 k 堂课所在的天数是错误的情况数是 W(K)
• 总共 n 堂课分别 记为 1,2,...n,它们可放的天数可以表示为(1，2)(2，3)(3，4)...(n，1)
• 现在我们把括号去掉即得到一个数列 1，2，2，3，3，4，....n，1，
• 现在 我们从里面取出 K 个数，分别表示 k 堂课所在的天数
• 现在只要求出满足 这个条件的取法数就可以了
• 定理：假定数n个顶点沿一圆周排列，则从其中选取k个不相邻顶点的方法 数是n/k*C(n-k-1,k-1)
• 证明：对于任意一个顶点A，先取A，然后再从不和A相邻的n-3个其他顶点 中取k-1个不相邻顶点
• 显然可得到符合定理要求的组合，这个组合的个数 为C((n-3)-(k-1)+1,k-1)=C(n-k-1,k-1)
• 一共有n个顶点，而且在每个组 合中有k个元素，即可完成证明
• 那么W(K)=(n-k)!*C(2n-k-1,k-1)*2n/k
• 有人会问为什么要乘(n-k)!，因为我们只选了K堂错的课，剩余(n-k) 堂课可以随意选
• W(K)确定以后就是最裸的容斥原理了

正解代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int mo=1000000007,maxn=200005;
int n;
long long f[maxn],ny[maxn];
long long ksm(long long k,int t)
{
    if (!t) return 1;
    long long mid=ksm(k,t/2);
    if (t&1) return mid*mid%mo*k%mo;
    return mid*mid%mo;
}
long long get(int x) { return f[n-x]%mo*2*n%mo*(f[2*n-x-1]*(ny[x]*ny[2*(n-x)]%mo)%mo)%mo; }
int main()
{
    f[0]=f[1]=1; ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<maxn;i++) f[i]=f[i-1]*i%mo,ny[i]=ksm(f[i],mo-2);
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if (n==1) { printf("0
"); continue; }
        long long ans=f[n];
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            long long k=get(i);
            if (i%2==1) ans=(ans-k+mo)%mo; else ans=(ans+k)%mo;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

水法代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int n;long long f[100001];
int main()
{
    f[3]=1,f[4]=3;
    for (int i=5;i<=100000;i++) f[i]=((f[i-1]+f[i-2])*(i-1)+f[i-3])%1000000007;
    while (scanf("%d",&n)!=EOF) printf("%lld
",(f[n]-f[n-1]+1000000007)%1000000007);
}