[状压dp][剪枝搜索] 洛谷 P2831 愤怒的小鸟

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 (0,0)(0,0) 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax^2+bxy=ax2+bx 的曲线，其中 a,ba,b 是Kiana 指定的参数，且必须满足 a < 0a<0，a,ba,b 都是实数。

当小鸟落回地面（即 xx 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 nn 只绿色的小猪，其中第 ii 只小猪所在的坐标为 left(x_i,y_i ight)(xi​,yi​)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 left( x_i, y_i ight)(xi​,yi​)，那么第 ii 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 left( x_i, y_i ight)(xi​,yi​)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 ii 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 (1,3)(1,3) 和 (3,3)(3,3)，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=-x^2+4xy=−x2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 TT 个关卡，现在 Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数 TT，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 TT 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,mn,m，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 nn 行中，第 ii 行包含两个正实数 x_i,y_ixi​,yi​，表示第 ii 只小猪坐标为 (x_i,y_i)(xi​,yi​)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 m=0m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果 m=1m=1，则这个关卡将会满足：至多用 lceil n/3 + 1 ceil⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 m=2m=2，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 lfloor n/3 floor⌊n/3⌋ 只小猪。

保证 1leq n leq 181≤n≤18，0leq m leq 20≤m≤2，0 < x_i,y_i < 100<xi​,yi​<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 lceil c ceil⌈c⌉ 和 lfloor c floor⌊c⌋ 分别表示对 cc 向上取整和向下取整，例如：lceil 2.1 ceil = lceil 2.9 ceil = lceil 3.0 ceil = lfloor 3.0 floor = lfloor 3.1 floor = lfloor 3.9 floor = 3⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

输入输出样例

输入样例#1：

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例#1：

1
1

输入样例#2：

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

输出样例#2：

2
2
3

输入样例#3：

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

输出样例#3：

6

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，22只小猪分别位于(1.00,3.00)(1.00,3.00)和 (3.00,3.00)(3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y = -x^2 + 4xy=−x2+4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有55只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y = -x^2 + 6xy=−x2+6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【数据范围】

题解1

• 搜索剪枝
• 对于当前的一只猪，可以选择被之前某一条抛物线所经过，也可以选择之前也没有被经过的一只猪组成一条新的抛物线，也可以选择暂时不被经过
• 对于这三种情况都要处理，显然会超时，那么就来点剪枝
• 剪枝：①最优性剪枝，当前形成的抛物线与暂时不被经过的猪的个数大于当前的答案，直接可以退出
• ②最优性剪枝，如果当前的猪可以被之前的抛物线所经过，那么就可以不管其他的情况，因为这样不用多加一条抛物线，所以是最优的
• ③如果在枚举与之前没有经过的猪时候，两只猪的横坐标（也就是x）相等，那么就直接continue，因为不存在坐标相同的猪，也不存在垂直向上的抛物线
• 这样的话，应该就可以过这一题了

题解2

• 状压dp
• 首先观察到数据，n<=18，很优秀，果断状压
• 设f[s]为被经过的猪的状态为s的抛物线条数
• 我们可以先预处理一些东西，设num[i][j]为i和j所组成的抛物线，可以经过猪的状态
• 那么还是有两种情况，①单独形成一条抛物线 ②两个形成一条抛物线，但抛物线上可能还会经过其他的猪
• 状态转移方程就显然 ① f[i|1<<(j-1)]=min(f[i|1<<(j-1)],f[i]+1) ② f[i|num[j][k]]=min(f[i|num[j][k]],f[i]+1)

代码1

#include <cstdio> 
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int t,n,m,ans;
double da[50],db[50],x[50],y[50],dx[50],dy[50];
bool pd(double x,double y) { return fabs(x-y)<eps; }
void dfs(int d,int u,int v)
{
    if (u+v>=ans) return;
    if (d>n)
    {
        ans=u+v;
        return;
    }
    bool boo=false;
    for (int i=1;i<=u;i++)
        if (pd(da[i]*x[d]*x[d]+db[i]*x[d],y[d]))
        {
            dfs(d+1,u,v),boo=true;
            break;
        }
    if (!boo)
    {        
        for (int i=1;i<=v;i++)
        {
            if (pd(x[d],dx[i])) continue;
            double a=(y[d]*dx[i]-dy[i]*x[d])/(x[d]*x[d]*dx[i]-dx[i]*dx[i]*x[d]),
                   b=(y[d]-x[d]*x[d]*a)/x[d];
            if (a<0)
            {
                da[++u]=a,db[u]=b;
                double l=dx[i],r=dy[i];
                for (int j=i;j<v;j++) dx[j]=dx[j+1],dy[j]=dy[j+1];
                dfs(d+1,u,v-1),u--;
                for (int j=v;j>i;j--) dx[j]=dx[j-1],dy[j]=dy[j-1];
                dx[i]=l,dy[i]=r;
            }
        }
        dx[++v]=x[d],dy[v]=y[d],dfs(d+1,u,v),v--;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        ans=100;
        dfs(1,0,0);
        printf("%d
",ans);
    }
}

代码2

#include <cstdio> 
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int t,n,m,num[50][50],f[1<<20];
double x[50],y[50];
bool pd(double a,double b) { return fabs(a-b)<eps; }
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        memset(num,0,sizeof(num));
        for (int i=1;i<=n-1;i++)
            for (int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                if (pd(x[i],x[j])) continue;
                double a=(y[i]/x[i]-y[j]/x[j])/(x[i]-x[j]),b=(y[i]-a*x[i]*x[i])/x[i];
                if (a>=0) continue;
                for (int k=1;k<=n;k++) if (pd(a*x[k]*x[k]+b*x[k],y[k])) num[i][j]|=1<<(k-1);
            } 
        memset(f,125,sizeof(f)),f[0]=0;
        for (int i=0;i<=(1<<n)-1;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                if (!(i&(1<<(j-1))))
                {
                    for (int k=j;k<=n;k++)
                    {
                        if (j==k) f[i|1<<(j-1)]=min(f[i|1<<(j-1)],f[i]+1);
                        if (pd(x[j],x[k])) continue;
                        f[i|num[j][k]]=min(f[i|num[j][k]],f[i]+1);
                    }
                    break;
                }
        printf("%d
",f[(1<<n)-1]);
    }
}