[tarjan][树形dp] 洛谷 P2515 软件安装

题目描述

现在我们的手头有N个软件，对于一个软件i，它要占用Wi的磁盘空间，它的价值为Vi。我们希望从中选择一些软件安装到一台磁盘容量为M计算机上，使得这些软件的价值尽可能大（即Vi的和最大）。

但是现在有个问题：软件之间存在依赖关系，即软件i只有在安装了软件j（包括软件j的直接或间接依赖）的情况下才能正确工作（软件i依赖软件j)。幸运的是，一个软件最多依赖另外一个软件。如果一个软件不能正常工作，那么它能够发挥的作用为0。

我们现在知道了软件之间的依赖关系：软件i依赖软件Di。现在请你设计出一种方案，安装价值尽量大的软件。一个软件只能被安装一次，如果一个软件没有依赖则Di=0，这时只要这个软件安装了，它就能正常工作。

输入输出格式

输入格式：

第1行：N, M （0<=N<=100, 0<=M<=500）

第2行：W1, W2, ... Wi, ..., Wn （0<=Wi<=M ）

第3行：V1, V2, ..., Vi, ..., Vn （0<=Vi<=1000 ）

第4行：D1, D2, ..., Di, ..., Dn （0<=Di<=N, Di≠i ）

输出格式：

一个整数，代表最大价值

输入输出样例

输入样例#1：

3 10
5 5 6
2 3 4
0 1 1

输出样例#1：

5

题解

• 首先，一个软件只能依赖一个软件，那么我们将被依赖的软件向依赖它的软件上连一条边，这么发现，每个点的入度为1
• 每个点入度为1的图是什么，那就是树，但是这棵树有可能会形成环，然后就要打tarjan缩环
• 设f[i][j]为以i根的树，容量为j的最大价值（不处理根），那么答案就是f[0][m]
• 状态转移方程就很显然了，类似于在树上做一个背包，取一个点的前提条件是它的根被取了
• f[i][j]=max(f[i][j],f[i−k][j]+f[son][k−w[son]]+v[son])（k为枚举的一个容量）

代码

#include <cstdio> 
#include <iostream>
using namespace std;
struct edge { int to,from; }e[110];
int n,m,cnt,tot,k,w[110],v[110],head[110],low[110],dfn[110],vis[110],sta[110],bel[110],w1[110],v1[110],s[110],g[110][110],f[110][510];
void insert(int x,int y) { e[++cnt].to=y,e[cnt].from=head[x],head[x]=cnt; }
void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++dfn[0],sta[++sta[0]]=x,vis[x]=1;
    for (int i=head[x];i;i=e[i].from)
        if (!dfn[e[i].to]) 
        {
            tarjan(e[i].to);
            low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
        }
        else if (vis[e[i].to]) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
    if (dfn[x]==low[x])
    {
        tot++;
        do
        {
            k=sta[sta[0]--],vis[k]=0;
            bel[k]=tot,w1[tot]+=w[k],v1[tot]+=v[k];
        }
        while (k!=x);
    }
}
void dfs(int x)
{
    for (int i=1;i<=tot;i++)
        if (g[x][i])
        {
            dfs(i);
            for (int j=m;j>=w1[i];j--) for (int k=w1[i];k<=j;k++) f[x][j]=max(f[x][j],f[i][k-w1[i]]+v1[i]+f[x][j-k]);
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);
    for (int i=1,x;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        if (x) insert(x,i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=head[i];j;j=e[j].from)
            if (bel[i]!=bel[e[j].to]&&!g[bel[i]][bel[e[j].to]])
                g[bel[i]][bel[e[j].to]]=1,s[bel[e[j].to]]++;
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!s[i]) g[0][i]=1;
    dfs(0);
    printf("%d",f[0][m]);
}