Vijos 1451 圆环取数 【区间DP】

背景

小K攒足了路费来到了教主所在的宫殿门前，但是当小K要进去的时候，却发现了要与教主守护者进行一个特殊的游戏，只有取到了最大值才能进去Orz教主……

描述

守护者拿出被划分为n个格子的一个圆环，每个格子上都有一个正整数，并且定义两个格子的距离为两个格子之间的格子数的最小值。环的圆心处固定了一个指针，一开始指向了圆环上的某一个格子，你可以取下指针所指的那个格子里的数以及与这个格子距离不大于k的格子的数，取一个数的代价即这个数的值。指针是可以转动的，每次转动可以将指针由一个格子转向其相邻的格子，且代价为圆环上还剩下的数的最大值。

现在对于给定的圆环和k，求将所有数取完所有数的最小代价。

格式

输入格式

输入文件cirque.in的第1行有两个正整数n和k，描述了圆环上的格子数与取数的范围。

第2行有n个正整数，按顺时针方向描述了圆环上每个格子上的数，且指针一开始指向了第1个数字所在的格子。

所有整数之间用一个空格隔开，且不超过10000。

输出格式

输出文件cirque.out仅包括1个整数，为取完所有数的最小代价。

样例1

样例输入1

6 1
4 1 2 3 1 3

样例输出1

21

限制

对于20%的数据，n≤10，k≤3；
对于40%的数据，n≤100，k≤10；
对于60%的数据，n≤500，k≤20；
对于100%的数据，n≤2000，k≤500；

时限1s。

提示

如上图所示，第一步不转动指针，取走4、3两个数，代价为7；
第2步指针顺时针转动2格，圆环上最大数为3，代价为6，取走1、2、3两个数，代价为6；
第3步指针顺时针转动1格，代价为1，取走剩下的一个数1，代价为1；
最小代价为7+6+6+1+1=21。

题目链接：

　　https://www.vijos.org/p/1451

题目大意：

　　N个数顺序排成一个圈，指针指向第一个数，目标是把所有数取走（取后数字消失但是位置依然保留）。每次可以同时取指针左右各k格(含指针)

　　取一个数的费用是数本身的大小，移动指针的费用是每移动一格花费目前剩余数字最大的。问最小花费。

题目思路：

　　【区间DP】

　　根据规则可以发现，取数字的花费是固定的 sum(1~n)，所以只用考虑移动的费用。并且移动过程中肯定是边移边取，所以未取的数字都集中在中间。

　　首先一开始指针在1的时候肯定把左右两边的k个都取了。接着就破环成链，k+2~n-k是未取的数字。

　　dp[i][j]表示从i到j区间全部取完的最小花费，且此时指针指向i-1（dp[i][j]和dp[j][i]方向不同）

　　转移方程分为两个，一个是顺着原来的方向移动一格，另一个是移动到另一边，二者取最优。

　　预处理出区间最大值即可（nlogn或n²）

//
//by coolxxx
/*
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<bitset>
#include<memory.h>
#include<time.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
//#include<stdbool.h>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b))
*/
#include<bits/stdc++.h>
#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
#define lowbit(a) (a&(-a))
#define sqr(a) ((a)*(a))
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps (1e-8)
#define J 10000
#define mod 1000000007
#define MAX 0x7f7f7f7f
#define PI 3.14159265358979323
#define N 2004
using namespace std;
typedef long long LL;
double anss;
LL aans;
int cas,cass;
int n,m,lll,ans;
int a[N],sum[N];
int maxx[N][N],dp[N][N];

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.txt","r",stdin);
//    freopen("2.txt","w",stdout);
    #endif
    int i,j,k,l;
    int x,y,z;
//    for(scanf("%d",&cass);cass;cass--)
//    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
//    while(~scanf("%s",s))
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        scanf("%d",&m);
        mem(dp,127);mem(maxx,0);sum[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
            dp[i][i]=maxx[i][i]=a[i];
        }
        if(1+m+m>=n)
        {
            printf("%d
",sum[n]);
            continue;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=i+1;j<=n;j++)
                maxx[i][j]=maxx[j][i]=max(maxx[i][j-1],a[j]);
        for(l=1;l<n-m-m;l++)
        {
            for(i=m+2;i+l<=n-m;i++)
            {
                j=i+l;
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+maxx[i][j],dp[j-1][i]+((i-m-1)+(n-j-m))*maxx[i][j]);
            }
            for(i=n-m;i-l>=m+2;i--)
            {
                j=i-l;
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+maxx[i][j],dp[j+1][i]+((j-m-1)+(n-i-m))*maxx[i][j]);
            }
        }
        x=max(dp[m+2][n-m],dp[n-m][m+2])+sum[n];
        printf("%d
",x);
    }
    return 0;
}
/*
//

//
*/