解惑3：时间频度，算法时间复杂度

一、概述

先放百科上的说法：

算法的时间复杂度（Time complexity）是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。

时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

例如，如果一个算法对于任何大小为 n （必须比 n0 大）的输入，它至多需要 5n3 + 3n 的时间运行完毕，那么它的渐近时间复杂度是 O(n3).

二、时间频度

要理解时间复杂度，需要先理解时间频度，而时间频度简单的说，就是算法中语句的执行次数。

举个例子：

要计算1+2+...+100，现在有两种算法

public int fun1(int n){
    int total;
    for(int i = 0; i <= n; i++){
        total+=i;
    }
    return total;
}

public int fun2(int n){
    int total = (1 + n)*n/2;
    return total;
}

我们可以看见，对于fun1()这个方法，不管n多大，永远需要执行n+1次，也就是说他的时间频度是T(n)=n+1,

而对与fun2()来说，不管n多大都只需要执行1次，所以他的时间频度T(n)=1。

当n趋向无穷大时，有三个忽略：

1.忽略常数项

比如T(n)=2n+1，当n趋向无穷大时，可以忽略常数项1；

参见下图：

• 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
• 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

2.忽略低次项

比如T(n)=2n+3n^8，当n趋向无穷大时，可以忽略低次项及其系数2n；

参见下图：

• 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
• n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

3.忽略系数

比如T(n)=2n^8，当n趋向无穷大时，可以忽略系数2。

参见下图：

• 随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
• 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

三、时间复杂度

我们现在理解了时间频度的T(n)的含义，假设当有一个辅助函数f(n)，使得当n趋近无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于0的常数，就叫f(n)为T(n)的同量级函数，记作T(n)=O(f(n))，

称O(f(n))为算法的时间渐进复杂度，也就是时间复杂度。

又根据时间频度T(n)的“三个忽略”原则，我们可以知道时间复杂度是这样得到的：

1. 忽略所有常数
2. 只保留函数中的最高阶项
3. 去掉最高阶项的系数

举个例子：

某算法T(n)=2n^3+4n-5，按步骤走：

1. T(n)=2n^3+4n
2. T(n)=2n^3
3. T(n)=n^3

即可得该算法时间复杂度为O(n^3)

四、常见时间复杂度

这里按复杂度从低到高列举常见的时间复杂度：

1. 常数阶O(1)

   // 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1) 。
   public void fun(int n){
       n+=1;
   }
   

2. 对数阶O(log2n)

   // 根据公式有 n = 2^x，也就是 x = log2n，x即为循环代码执行次数，所以时间复杂度为O(log2n)
   public void fun(int n){
       int i = 1;
       while(i < n){
           i = i *2
       }
   }
   

3. 线性阶O(n)

   // 一般来说，只要代码里只有一个循环结构，即输入规模和执行次数呈线性相关，那这个代码的时间复杂度就都是O(n) 。
   public void fun(int n){
       for(int i = 0; i < n; i++){
           n+=i;
       }
   }
   

4. 线性对数阶O(nlogn)

   // 可以简单理解为对数阶的程序被放入了循环结构中，也就是n*O(logn)，下面的代码的复杂度就是O(nlog2n)
   public void fun(int n){
       int j = 1;
       for(int i = 0; i < n; i++){
           while(i < n){
               j = j *2
           }
       }
   }
   

5. 平方阶O(n²)，立方阶O(n^{3)，K次方阶O(n}k)

   // 平方阶可以简单理解为线性阶中嵌套一个线性阶，也就是O(logn)*O(logn)，下面的代码复杂度就是O(n^2)
   // 立方阶同理，就是三个线性阶的嵌套，K次方阶同理
   public void fun(int n){
       for(int i = 0; i < n; i++){
           for(int j = 0; j < n; i++){
   			i=i+j;
           } 
       }
   }
   

五、复杂度的四个概念

1. 最坏情况时间复杂度：代码在最理想情况下执行的时间复杂度。
2. 最好情况时间复杂度：代码在最坏情况下执行的时间复杂度。
3. 平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示
4. 均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

举个例子：

长度为n的数组查找一个给定元素k

public void fun(int[] arr,int k){
    for(int i = 0; i < arr.length; i++){
        if(arr[i] == k){
            //找到了
        }
    }
}

上面这个方法，最好的情况下元素k就在数组第一位，复杂度为O(1)，但是最坏的情况下，元素k在数组最后一位，复杂度为O(n)。

同一段代码在不同情况下时间复杂度会出现量级差异，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，我们引入这4个概念，当然，在大多数时候我们是不用特意区分这四种情况的。

六、总结

总结一下如何快速判断程序的时间复杂度：

• 只关注循环最多的那部分代码
• 总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
• 嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积