HDU4549 M斐波那契数列 —— 斐波那契、费马小定理、矩阵快速幂

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M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

0 1 0 6 10 2

 

Sample Output

0 60

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

 

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liuyiding

题解：

1.可知f[n]中a、b的指数符合斐波那契数列，因而可用矩阵快速幂求出。

2.然而如果指数不求模，也可能会溢出。但指数又怎样求模呢？

有如下定理：当m为素数，且a、n互质时， a^n % m = a^(n%(m-1)) % m。

证明：

根据费马小定理，当m为素数，且a、p互质时， a^(m-1) ≡ 1 (mod m)，

a^n = a^(k*(m-1)+r) = (a^(m-1))^k * a^r，其中 r = n%(m-1)，

那么 a^n % m = ( (a^(m-1))^k * a^r ) % m =  (a^(m-1))^k % m * a^r % m = 1 * a^r % m = a^(n%(m-1)) % m 。

所以：当m为素数，且a、n互质时， a^n % m = a^(n%(m-1)) % m 。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1000000007;
const int MAXN = 1e6+100;

const int Size = 2;
struct MA
{
    LL mat[Size][Size];
    void init()
    {
        for(int i = 0; i<Size; i++)
        for(int j = 0; j<Size; j++)
            mat[i][j] = (i==j);
    }
};

MA mul(MA x, MA y)
{
    MA ret;
    memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat));
    for(int i = 0; i<Size; i++)
    for(int j = 0; j<Size; j++)
    for(int k = 0; k<Size; k++)
        ret.mat[i][j] += (1LL*x.mat[i][k]*y.mat[k][j])%(MOD-1), ret.mat[i][j] %= (MOD-1);
    return ret;
}

MA qpow(MA x, LL y)
{
    MA s;
    s.init();
    while(y)
    {
        if(y&1) s = mul(s, x);
        x = mul(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return s;
}

LL q_pow(LL x, LL y)
{
    LL s = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1) s *= x, s %= MOD;
        x *= x, x %= MOD;
        y >>= 1;
    }
    return s;
}

MA tmp = {
    1, 1,
    1, 0
};

int main()
{
    LL f[2], n;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&f[0],&f[1],&n)!=EOF)
    {
        if(n<=1)
        {
            printf("%lld
", f[n]%MOD);
            continue;
        }

        MA s = tmp;
        s = qpow(s, n-1);
        LL p1 = s.mat[0][0];
        LL p2 = s.mat[1][0];
        LL ans = q_pow(f[0], p2)*q_pow(f[1], p1)%MOD;
        printf("%lld
", ans);
    }
}