51Nod 1627 瞬间移动 —— 组合数学

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1627 瞬间移动 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第n行第m列的格子有几种方案，答案对1000000007取模。

Input

单组测试数据。
两个整数n,m（2<=n,m<=100000）

Output

一个整数表示答案。

Input示例

4 5

Output示例

10

题解：

1.如果去除掉起点和终点，那么就是对中间的矩形进行统计。则首先 n -= 2， m -= 2。

2. 可知里边的矩形最多只能有 min(n,m)个足迹，假设m = min(n,m)，即最多只能有m个足迹。

3.根据以上两点，可以枚举矩形里足迹的个数i，然后再为这i个足迹分配横、纵坐标，总共有 C(n,i)*C(m,i)种情况，则最终答案为：∑C(n,i)*C(m,i) ， 0<=i<=m 。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXM = 1e5+10;
const int MAXN = 2e5+10;

LL qpow(LL x, LL y)
{
    LL s = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1) s = (s*x)%MOD;
        x = (x*x)%MOD;
        y >>= 1;
    }
    return s;
}

LL A[MAXN], inv[MAXN];
LL C(LL n, LL m)
{
    if(n<m) return 0;
    return (((A[n]*inv[n-m])%MOD)*inv[m])%MOD;
}

void init()
{
    A[0] = inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i<MAXN; i++)
    {
        A[i] = i*A[i-1]%MOD;
        inv[i] = qpow(A[i], MOD-2);
    }
}

int main()
{
    init();
    LL n, m;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
    {
        n -= 2; m -= 2; //去掉起始点和终点，只对里边的矩形进行统计
        if(n<m) swap(n,m);
        LL ans = 0;    
        for(int i = 0; i<=m; i++)     //里边的矩形最多只能有min(n,m)个“足迹”,即最多只能走min(n,m)+1步
            ans = (ans+C(m,i)*C(n,i)%MOD)%MOD;  //如果里边有i个足迹，则为这i个足迹选择横坐标、纵坐标
        printf("%lld
", ans);
    }
}