codevs1154 能量项链(区间DP)

题目描述 Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入描述 Input Description

第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出描述 Output Description

只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10⁹），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入 Sample Input

4

2 3 5 10

样例输出 Sample Output

710

 

d[i][j]表示合并区间[i,j]得到的最大能量。

d[i][j] = max(d[i][k] + d[k+1][j] + a[i]*a[k+1]*a[j+1]) ,其中a[i]表示第i颗珠子的头标记(注意搞清楚这几个头尾的关系,差点被搞晕)

假设以1号珠子为起点，则最大能量为d[1][n]。

现在没说起点是哪个，最直接想到的方法是枚举。可是，跑一次的复杂度是O(n^3)，算上枚举的话就是O(n^4)，对于n=100，很有可能会TLE，得有个改进的方法。（天梯上面的数据没卡时间，我枚举法交上去居然A了）

 

（以下思路来源http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c396f4301000bol.html）

假设有五颗珠子，编号分别是1 2 3 4 5，则以2为起点时的顺序是2 3 4 5 1。

两次计算中重复计算的量有[2,3],[3,4],[4,5],[2,4],[3,5],[2,5] (方括号中的数字代表编号)

我们可以考虑将数组扩大一倍,令a[n+1]=a[1],a[n+2]=a[2]...a[n+n]=a[n].(最后一个没用,因为是循环)

这样一i为起点的答案就是d[i][i+n-1]，扫一遍取最大就行了。

这样就将复杂度降为O(n^3)了。

 

#include<iostream>
#include<cassert>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<iterator>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define rep(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i <= _end_; ++i)
#define rep2(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i < _end_; ++i)
#define dep(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i >= _end_; --i)
#define dep2(i,f,t) for(int i = (f),_end_=(t); i > _end_; --i)
#define clr(c, x) memset(c, x, sizeof(c) )
typedef long long int64;
const int INF = 0x5f5f5f5f;
const double eps = 1e-8;


//*****************************************************

int a[210];
int d[210][210];
int n;
int main()
{
    int mv = 0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d",a+i);
        a[i+n] = a[i];
    }
    
    for(int i = n+n-1; i >= 1; --i)
    {
        for(int j = i+1; j < min(n+n,i+n); ++j)
        {
            d[i][j] = max(d[i][j-1]+a[i]*a[j]*a[j+1], d[i+1][j]+a[i]*a[i+1]*a[j+1]);
            for(int k = i+1; k < j-1; ++k){
                d[i][j] = max(d[i][j], d[i][k]+d[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)ans = max(ans,d[i][i+n-1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

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