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  • 最短Hamilton路径

    题目描述

    给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图,点从 0~n-1 标号,求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

    输入

    第一行一个整数n。
    接下来n行每行n个整数,其中第i行第j个整数表示点i到j的距离(一个不超过10^7的正整数,记为a[i,j])。
    对于任意的x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

    输出

    一个整数,表示最短Hamilton路径的长度。

    样例输入

    4
    0 2 1 3
    2 0 2 1
    1 2 0 1
    3 1 1 0
    

    样例输出

    4
    

    提示

    从0到3的Hamilton路径有两条,0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5,后者的长度为1+2+1=4

     
    思路:用dp[i][j]表示,从起点s到点j,且经过i的二进制表示中值为1的位所对应的点的最短路径;则状态转移方程为:dp[i][j]=min{dp[i^(1<<j)][k]+Map[k][j]}(k=1~n); 其含义就是枚举到达点j之前的前一个点k,取其最短;
     

    用二进制上的数代表一个点的状态,取(1)或不取(0)。题目让求从点1到n的最短汉密顿路径,即经过每个点一次,这时的状态用二进制表示就是 (1<<n)-1 (n个1)。用dp[i][j]表示在状态 i 下,从1到 j 的最短汉密顿路径。

    dp[i][j]可由上一个状态(上一状态就是把 j从当前状态中去掉)dp[i^(1<<(j-1))][k]得到,其中保证k是中存在的点,即 (i>>k)&1。

    表示 i 的第 k 位是1,即经过点 k。  注意是 i>>k 不是 i<<k

    则状态转移方程为:dp[i][j]=min{dp[i^(1<<j)][k]+Map[k][j]}(k=1~n); 其含义就是枚举到达点j之前的前一个点k,取其最短;

    AC代码:

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 using namespace std;
     3 
     4 int f[1 << 20][20];
     5 int wight[200][200];
     6 
     7 int main(void){
     8 int n;
     9 cin >> n;
    10 for(int i = 0 ; i < n; i++){
    11     for(int j = 0 ; j < n ; j++){
    12         cin >> wight[i][j];
    13     }
    14 }
    15 //状态压缩,用二进制的1来表示此位置是否被用过
    16 memset(f,0x3f,sizeof(f));
    17 f[1][0] = 0;
    18 //二进制位数 
    19 for(int i = 0 ; i <( 1 << n) ; i++)
    20 for(int j = 0; j < n ; j++) 
    21     if(i >> j & 1)
    22         for(int k = 0;k < n; k++)
    23             if((i ^ 1 << j) >> k & 1)
    24                 f[i][j] = min(f[i][j],f[i^1 << j][k] + wight[k][j]);
    25 
    26             cout << f[(1 << n ) - 1][n -1] << endl;; 
    27     return 0;
    28 
    29 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/DWVictor/p/10526920.html
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