【BZOJ-1096】仓库建设斜率优化DP

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

Solution

裸斜率优化DP

朴素的DP方程：

$dp[i]=min（dp[j]+cost[j+1,i]+c[i],dp[i])$

其中，dp[i]表示到第i个场，且第i个场建场，cost[j+1,i]表示把j+1~i的所以物品运到i的价钱，

很显然可以斜率优化

化一下式子，就好了，懒得编辑了，看程序吧

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define maxn 1000010
long long x[maxn],p[maxn],c[maxn],sump[maxn],sumxp[maxn],dp[maxn];
int n,l,r,q[maxn];
double slope(int a,int b) {return (double)(dp[b]-dp[a]+sumxp[b]-sumxp[a])/(double)(sump[b]-sump[a]);}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1; i<=n; i++)
        x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read(),
        sump[i]=sump[i-1]+p[i],sumxp[i]=sumxp[i-1]+x[i]*p[i];
    for (int tmp,i=1; i<=n; i++)
        {
            while (l<r && x[i]>slope(q[l],q[l+1])) l++;
            tmp=q[l];
            dp[i]=dp[tmp]+(sump[+i-1]-sump[tmp])*x[i]-(sumxp[i-1]-sumxp[tmp])+c[i];
            while (l<r && slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
            q[++r]=i;
        }
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}

一周没怎么动了，做个水题都要20分钟，而且鼠标爆炸，一点鼠标就无限刷+，（别问我为什么无限刷+是鼠标的事，我也不知道——）

【BZOJ-1096】仓库建设 斜率优化DP