【BZOJ-1670】Building the Moat护城河的挖掘 Graham扫描法 + 凸包

1670: [Usaco2006 Oct]Building the Moat护城河的挖掘

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Description

为了防止口渴的食蚁兽进入他的农场，Farmer John决定在他的农场周围挖一条护城河。农场里一共有N(8<=N<=5,000)股泉水，并且，护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水。护城河必须能保护所有的泉水，也就是说，能包围所有的泉水。泉水一定在护城河的内部，或者恰好在河道上。当然，护城河构成一个封闭的环。挖护城河是一项昂贵的工程，于是，节约的FJ希望护城河的总长度尽量小。请你写个程序计算一下，在满足需求的条件下，护城河的总长最小是多少。所有泉水的坐标都在范围为(1..10,000,000,1..10,000,000)的整点上，一股泉水对应着一个唯一确定的坐标。并且，任意三股泉水都不在一条直线上。以下是一幅包含20股泉水的地图，泉水用"*"表示

图中的直线，为护城河的最优挖掘方案，即能围住所有泉水的最短路线。路线从左上角起，经过泉水的坐标依次是：(18,0),(6,-6),(0,-5),(-3,-3),(-17,0),(-7,7),(0,4),(3,3)。绕行一周的路径总长为70.8700576850888(...)。答案只需要保留两位小数，于是输出是70.87。

Input

* 第1行: 一个整数，N * 第2..N+1行: 每行包含2个用空格隔开的整数，x[i]和y[i]，即第i股泉水的位置坐标

Output

* 第1行: 输出一个数字，表示满足条件的护城河的最短长度。保留两位小数

Sample Input

20
2 10
3 7
22 15
12 11
20 3
28 9
1 12
9 3
14 14
25 6
8 1
25 1
28 4
24 12
4 15
13 5
26 5
21 11
24 4
1 8

Sample Output

70.87

HINT

Source

凸包卡壳

Solution

Graham扫描法求凸包，模板题

(1)找出点集p[]中最左下的点p1，把p1同点集中其他各点用线段连接，并计算这些线段与水平线的夹角，然后按夹角从小到大和按到p1的距离从近到远排序(夹角范围为 [0, 180)度，而且可以删除相同夹角且距离p1较近的点，保留最远点，这样可减少计算量。因为直线上的非端点不是凸包的极点，即如果p1,p2,p3在一条直线上，则只取凸点p1,p3。p2不在端点，故可以去掉)，得到新的节点序列p1,p2,...pn.依次连接这些点，得到一个多边形(已经逆时针，有所进展，但还需去掉不在凸包上的点)。此时p1是凸包的边界起点，p2和pn也是最终凸包的顶点，p[n+1]=p1(看成循环的)

(2)删除p3,p4,...p[n-1]中不在凸包上的点：

先把p1,p2,p3入栈S中，再依次循环(i = 3 -> n-1)，若栈顶的两个点和当前的点p[i]这三点连线的方向向顺时针方向偏转，表明是凹的，应删除，则栈顶元素出栈(要循环判断，即可能前面的仍是凹的，还需再出栈，举例如下图)，直到向逆时针方向偏转或者栈内只有2个元素了(p1p2)，就把当前点p[i]入栈。

最后栈中的元素就是最终凸包上的点。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
struct Vector
{
    double x,y;
    Vector (double X=0,double Y=0) {x=X; y=Y;}
};
typedef Vector Point;
#define MAXN 5010
Point P[MAXN],ch[MAXN];
int n;
#define eps 1e-8
int dcmp(double x) {if (fabs(x)<eps) return 0; return x<0? -1:1;}
Vector operator + (Vector A,Vector B) {return ((Vector){A.x+B.x,A.y+B.y});}
Vector operator - (Vector A,Vector B) {return ((Vector){A.x-B.x,A.y-B.y});}
Vector operator * (Vector A,double p) {return ((Vector){A.x*p,A.y*p});}
Vector operator / (Vector A,double p) {return ((Vector){A.x/p,A.y/p});}
double Dot(Vector A,Vector B) {return A.x*B.x+A.y*B.y;}
double Cross(Vector A,Vector B) {return A.x*B.y-A.y*B.x;}
double dis(Point A,Point B) {return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));}
bool operator < (const Vector& a,const Vector& b) {return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);}
int Graham_ConvexHull(Point *p,int num,Point *ch)
{
    sort(p,p+n);
    int m=0;
    for (int i=0; i<num; i++)
        {
            while (m>1 && dcmp(Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]))<=0) m--;
            ch[m++]=p[i];
        }
    int k=m;
    for (int i=n-2; i>=0; i--)
        {
            while (m>k && dcmp(Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]))<=0) m--;
            ch[m++]=p[i];
        }
    if (num>1) m--;
    return m;
}
double ans=0;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0; i<=n-1; i++)
        scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
     int m=Graham_ConvexHull(P,n,ch);
     ch[m+1]=ch[0];
    for (int i=0; i<=m; i++) ans+=dis(ch[i],ch[i+1]);
    printf("%.2lf
",ans);
    return 0;
}

模板题差点没1A...吓死我了