【BZOJ-2286】消耗战虚树 + 树形DP

在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

第一行一个整数n，代表岛屿数量。

接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。

第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。

接下来m行，每行一个整数k_i，代表第i次后，有k_i个岛屿资源丰富，接下来k个整数h₁,h₂,…h_k，表示资源丰富岛屿的编号。

输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

12
32
22

对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

Stage2 day2

Solution

虚树+树形DP

先看虚树...

一点个人的理解：

给定的树上有很多节点比较无用，会影响复杂度，所以我们需要把它们的影响降低，那么我们就建出一棵包含所有特殊点的，以及一些必要的LCA的虚树，使得里面的点数尽量的少

大体的构建需要栈 + LCA + dfs序

首先对给出的树求出dfs序，然后将给出的特殊点按dfs序从小到大排序；

然后用一个栈去维护，退栈和虚树连边是相结合的，这个栈中元素的意义：当前点在原树中到根的路径上在虚树上的点

排序之后，从左到右加点，假设当前要入栈的节点$x$,与当前栈顶LCA为$y$,当$x$被加入后，栈中所有深度>$y$的点需要退栈，这时候就对应连边

一个栗子（转）：

为了方便，假定dfs序和编号是一样的，红色点为特殊点

那么我们模拟一下虚树的构造过程，

首先按照dfs序，我们加入3，此时stack{3}

然后加入5，栈顶为3，它们的LCA为2，这时候开始退栈，发现deep[3]>deep[2]所以把3退栈，这时候2-->3连边

然后2入栈，此时stack{2}

然后5入栈，此时stack{2,5}

然后考虑6，栈顶为5，它们的LCA为2，这时候开始退栈，发现deep[5]>deep[2]那么把5退栈，这时候2-->5连边

然后考虑2入栈，发现栈顶为2，那么2不入栈

然后5入栈，此时stack{2,6}

依次退栈2-->6连边。

大体的建树操作：

bool cmp(int x,int y) {return dfn[x]<dfn[y];}
struct RoadNode{int next,to;}road[MAXN<<1];
int last[MAXN],tot;
void AddRoad(int u,int v) {tot++; road[tot].next=last[u]; last[u]=tot; road[tot].to=v;}
void InsertRoad(int u,int v) {if (u==v) return; AddRoad(u,v);}
int a[MAXN],tp,st[MAXN],top;
void MakeTree(int K)
{
    tot=0;
    sort(a+1,a+K+1,cmp);
    tp=0; a[++tp]=a[1];
    for (int i=2; i<=K; i++) if (LCA(a[tp],a[i])!=a[tp]) a[++tp]=a[i];
    st[++top]=1;
    for (int i=1; i<=tp; i++)
        {
            int now=a[i],lca=LCA(now,st[top]);
            while (top)
                {
                    if (deep[lca]>=deep[st[top-1]])
                        {
                            InsertRoad(lca,st[top--]);
                            if (st[top]!=lca) st[++top]=lca;
                            break;
                        }
                    InsertRoad(st[top-1],st[top]); top--;
                }
            if (st[top]!=now) st[++top]=now;
        }
    while (--top) InsertRoad(st[top],st[top+1]);
}

MakeTree

这道题就是建出虚树，然后再虚树上进行DP，这道题是简单DP，就不细说了

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 300010
#define LL long long
int N,M,K;
struct EdgeNode{int next,to,val;}edge[MAXN<<1];
int head[MAXN],cnt;
void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].val=w;}
void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
int deep[MAXN],dfn[MAXN],father[MAXN][21],t;
LL minn[MAXN];
void DFS(int now,int last)
{
    dfn[now]=++t;
    for (int i=1; i<=20; i++)
        if (deep[now]>=(1<<i))
            father[now][i]=father[father[now][i-1]][i-1];
        else break;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last)
            {
                minn[edge[i].to]=min(minn[now],(LL)edge[i].val);
                deep[edge[i].to]=deep[now]+1;
                father[edge[i].to][0]=now;
                DFS(edge[i].to,now);
            }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int dd=deep[x]-deep[y];
    for (int i=0; i<=20; i++)
        if (dd&(1<<i)) x=father[x][i];
    for (int i=20; i>=0; i--)
        if (father[x][i]!=father[y][i])
            x=father[x][i],y=father[y][i];
    if (x==y) return x; else return father[x][0];
}
bool cmp(int x,int y) {return dfn[x]<dfn[y];}
struct RoadNode{int next,to;}road[MAXN<<1];
int last[MAXN],tot;
void AddRoad(int u,int v) {tot++; road[tot].next=last[u]; last[u]=tot; road[tot].to=v;}
void InsertRoad(int u,int v) {if (u==v) return; AddRoad(u,v);}
int a[MAXN],tp,st[MAXN],top;
void MakeTree(int K)
{
    tot=0;
    sort(a+1,a+K+1,cmp);
    tp=0; a[++tp]=a[1];
    for (int i=2; i<=K; i++) if (LCA(a[tp],a[i])!=a[tp]) a[++tp]=a[i];
    st[++top]=1;
    for (int i=1; i<=tp; i++)
        {
            int now=a[i],lca=LCA(now,st[top]);
            while (top)
                {
                    if (deep[lca]>=deep[st[top-1]])
                        {
                            InsertRoad(lca,st[top--]);
                            if (st[top]!=lca) st[++top]=lca;
                            break;
                        }
                    InsertRoad(st[top-1],st[top]); top--;
                }
            if (st[top]!=now) st[++top]=now;
        }
    while (--top) InsertRoad(st[top],st[top+1]);
}
LL f[MAXN];
void DP(int now)
{
    f[now]=minn[now];
    LL tmp=0;
    for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
        DP(road[i].to),tmp+=f[road[i].to];
    last[now]=0;
    if (tmp==0) f[now]=minn[now]; else f[now]=min(tmp,f[now]);
}
int main()
{
    N=read();
    for (int x,y,z,i=1; i<=N-1; i++) x=read(),y=read(),z=read(),InsertEdge(x,y,z);
    minn[1]=1LL<<60;
    DFS(1,0);
    M=read();
    while (M--)
        {
            K=read();
            for (int i=1; i<=K; i++) a[i]=read();
            MakeTree(K);
            DP(1);
            printf("%lld
",f[1]);
        }
    return 0;
}

【BZOJ-2286】消耗战虚树 + 树形DP

2286: [Sdoi2011消耗战

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