【BZOJ-4016】最短路径树问题 Dijkstra + 点分治

4016: [FJOI2014]最短路径树问题

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Description

给一个包含n个点，m条边的无向连通图。从顶点1出发，往其余所有点分别走一次并返回。

往某一个点走时，选择总长度最短的路径走。若有多条长度最短的路径，则选择经过的顶点序列字典序最小的那条路径(如路径A为1,32,11，路径B为1,3,2,11，路径B字典序较小。注意是序列的字典序的最小，而非路径中节点编号相连的字符串字典序最小)。到达该点后按原路返回，然后往其他点走，直到所有点都走过。

可以知道，经过的边会构成一棵最短路径树。请问，在这棵最短路径树上，最长的包含K个点的简单路径长度为多长？长度为该最长长度的不同路径有多少条？

这里的简单路径是指：对于一个点最多只经过一次的路径。不同路径是指路径两端端点至少有一个不同，点A到点B的路径和点B到点A视为同一条路径。

Input

第一行输入三个正整数n,m，K，表示有n个点m条边，要求的路径需要经过K个点。接下来输入m行，每行三个正整数Ai,Bi,Ci(1<=Ai,Bi<=n,1<=Ci<=10000)，表示Ai和Bi间有一条长度为Ci的边。数据保证输入的是连通的无向图。

Output

输出一行两个整数，以一个空格隔开，第一个整数表示包含K个点的路径最长为多长，第二个整数表示这样的不同的最长路径有多少条。

Sample Input

6 6 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
2 5 1
3 6 1
5 6 1

Sample Output

3 4

HINT

对于所有数据n<=30000,m<=60000，2<=K<=n。

数据保证最短路径树上至少存在一条长度为K的路径。

2016.12.7新加数据一组by - wyx-150137

Source

Solution

这道题还是比较好搞的。

首先按照题目的意思搞出 最短路径树 来，这里利用vector排序搞了一下字典序的问题。

然后就可以用 点分治 处理答案了。

令$dp[dep][0/1]$表示经过点数为$dep$的最长路径的长度和方案数，然后DFS一遍就可以了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
}
#define MAXN 100010
#define LL long long

int N,M,K;
LL Dist,Num;

vector<int> G[MAXN];

namespace Graph{
	
	struct EdgeNode{
		int next,to,dis,from;
	}edge[MAXN<<1];
	int head[MAXN],cnt;

	inline void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].from=u; edge[cnt].dis=w;}
	inline void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}

	#define Pa pair<int,int>
	#define MP make_pair
	#define INF 0x7fffffff
	priority_queue<Pa,vector<Pa>,greater<Pa> >q;
	int dist[MAXN];
	inline void Dijkstra(int S=1)
	{
		for (int i=1; i<=N; i++) dist[i]=INF;
		q.push(MP(0,S)); dist[S]=0;
		while (!q.empty()) {
			int dis=q.top().first;
			int now=q.top().second;
			q.pop();
			if (dis>dist[now]) continue;
			for (int i=head[now]; i;i=edge[i].next) {
				if (dist[edge[i].to]>dis+edge[i].dis) {
					dist[edge[i].to]=dis+edge[i].dis;
					q.push(MP(dist[edge[i].to],edge[i].to));
				}
			}
		}
		
		for (int i=1; i<=cnt; i++) {
			int u=edge[i].from,v=edge[i].to,d=edge[i].dis;
			if (dist[u]+d==dist[v]) G[u].push_back(v);
		}
		
//		for (int i=1; i<=N; printf("Now=%d
",i),i++)
//			for (int j=0; j<G[i].size(); j++)
//				printf("%d  ",G[i][j]);
	}
}

namespace TreeDivide{

	struct EdgeNode{
		int next,to,dis;
	}edge[MAXN<<1];
	int head[MAXN],cnt;
	
	inline void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].dis=w;}
	inline void InsertEdge(int u,int v,int w) {/*printf("<%d  %d>
",u,v,w);*/ AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
	
	int size[MAXN],mx[MAXN],root,Sz;
	bool visit[MAXN];
	inline void Getroot(int now,int last)
	{
		size[now]=1; mx[now]=0;
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to]) {
				Getroot(edge[i].to,now);
				size[now]+=size[edge[i].to];
				mx[now]=max(mx[now],size[edge[i].to]);
			}
		mx[now]=max(mx[now],Sz-size[now]);
		if (mx[now]<mx[root]) root=now;
	}
	
	int f[MAXN][2],g[MAXN][2];
	inline void DFS(int now,int last,int dep,int dis)
	{
		if (dep>K) return;
		if (dis>f[dep][0]) 
			f[dep][0]=dis,f[dep][1]=1;
		else 
			if (dis==f[dep][0]) 
				f[dep][1]++;

		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to]) {
				DFS(edge[i].to,now,dep+1,dis+edge[i].dis);
			}
	}
	
	inline void Divide(int now)
	{
		visit[now]=1;
		for (int i=1; i<=K; i++) g[i][0]=g[i][1]=0;
		g[0][0]=0; g[0][1]=1;
		
		K--;
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (!visit[edge[i].to]) {
				
				for (int j=1; j<=K; j++) f[j][0]=f[j][1]=0;
				
				DFS(edge[i].to,now,1,edge[i].dis);
				
				for (int j=1; j<=K; j++) {
					if (Dist<g[K-j][0]+f[j][0])
						Dist=g[K-j][0]+f[j][0],Num=(LL)g[K-j][1]*f[j][1];
					else
						if (Dist==g[K-j][0]+f[j][0])
							Num+=(LL)g[K-j][1]*f[j][1];
				}
				
				for (int j=1; j<=K; j++) {
					if (g[j][0]<f[j][0])
						g[j][0]=f[j][0],g[j][1]=f[j][1];
					else
						if (g[j][0]==f[j][0])
							g[j][1]+=f[j][1];
				}
			}
		K++;
		
		
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next) 
			if (!visit[edge[i].to]) {
				root=0;
				Sz=size[edge[i].to];
				Getroot(edge[i].to,now);
				Divide(root);
			}
	}
	
	bool mark[MAXN];
	inline void BuildTree(int now)
	{
		mark[now]=1;
		sort(G[now].begin(),G[now].end());
		for (int i=0; i<G[now].size(); i++) 
			if (!mark[G[now][i]]) {
			BuildTree(G[now][i]);
			InsertEdge(now,G[now][i],Graph::dist[G[now][i]]-Graph::dist[now]);
		}
	}
}using namespace TreeDivide;

int main()
{
	N=read(),M=read(),K=read();
	for (int i=1,x,y,z; i<=M; i++) {
		x=read(),y=read(),z=read();
		Graph::InsertEdge(x,y,z);
	}
	Graph::Dijkstra();
	TreeDivide::BuildTree(1);
	
	Sz=mx[root=0]=N;
	TreeDivide::Getroot(1,0);
	TreeDivide::Divide(root);

	printf("%lld %lld
",Dist,Num);
	return 0;
}