基于条纹反射的镜面测量及三维重建算法分析
荆海龙 1，苏显渝 1，刘元坤 1，伍 凡
依据条纹反射术测量镜面、类镜面的原理和方法，分析了经由梯度数据重建三维面形的主要算法和关键问题
由梯度或法向矢量到面形的重建过程主要基于积分运算：
局部积分技术(Local integration techniques)和全局积分技术(Global integration techniques)。前者容易执行且计算速度快，但是严重依赖于数据的准确性和积分路径的选择，规划最佳积分路径是该方法的关键。后者通过最小化一定的代价函数(Cost function 或 Error function)对重建结果进行约束来加强可积性，在噪声较大环境下更加强健。代价函数的选择与实现是该方法的关键。
本文详细介绍了条纹反射术的原理，分析了基于路径积分的十字路径积分法和全局技术中有代表性的傅里叶变换积分法与区域波前重构法的重建效果，通过计算机模拟和波面实际测量，对这三种算法用于基于条纹反射的镜面测量的重建精度进行了对比研究。研究表明，区域波前重构法不但对高频噪声有较强的抑制作用，同时也可以处理复杂的连通区域和非等间距分布梯度数据的复杂情况，因此更适用于基于条纹反射术的波面测量。
条纹反射术采用正弦光栅投影和数字相移技术，系统由 TFT液晶显示屏、 CCD、待测物表面组成如图 1 所示。条纹的产生和CCD 图像的采集由计算机控制。当物面标准平面镜时，可以得到标准的参考条纹图进而得到参考相位；当物面存在起伏时，得到受物面梯度调制的变形条纹图，其表达式为I(x, y) = A(x, y) + B(x, y)cos[(2π/p)x +θ (x, y) +Φ (x, y)] (1)
式中： A 和 B 分别是与背景光强和受物体面形反射率影响分布的光场调制强度，为未知常数； θ 是系统引起的附加相位差； Φ 是物面引起的相位调制，当物面为标准面时，该项为 0。
面形重建方法分析
由梯度或法向矢量到面形的重建过程主要基于积分运算。在理想光滑表面情况下，设任意面上点(x, y)的梯度为[p(x, y), q(x, y)]，其中 p(x, y), q(x, y)分别为物面沿水平和垂直方向上的局部斜率。它满足：
∂p( (3) x, y) / ∂y = ∂q(x, y) / ∂x
此时梯度场为保守场，积分与路径无关，可以准确实现重建。然而实际测得中受到系统偏差、噪声等影响，所测梯度场为非保守场，式(3)不再成立，不同的积分路径与积分方法将导致不同的积分结果。目前已经发展了多种重建方法，通常可以将这些方法分为局部积分技术和全局积分技术。
区域波前重构法
在自适应光学领域同样存在着从梯度到高度的波前重建问题，这里主要
讨论基于绍契威尔模型的最小二乘波前重建法[8]。该方法满足代价方程：
W = ∫∫Ω[(∇Z − K)2 ] dxdy → min (6)
其中 Z 为估计物面， K=( p, q)表示测量梯度。设 G 表示求梯度运算， η 为测
量误差，则测量梯度 K 可表示为 K=GZ+η。重建物面是满足代价方程(6)的最
小二乘意义上对 Z 的估计。
如图 2 所示，测量数据和待估计的高度均在栅格点上，可以认为，相邻
栅格点的相位差是与相邻栅格点中点的斜率对应的，即
按此模型，区域内部的斜率是连续变化的，待估计高度按抛物线规律变化，有利于对高度的精确估计。
式(7)的矩阵形式为 K=DZ。其满足式(6)的最小二乘解为
D D D TK
e
1
e
Te
Z = [ ]− (8)
式中： De 表示 D 的增广矩阵，以保证 DeTDe 的秩完备。式(8)为一方程组，其中每一方程的建立只涉及到
有限个点。在处理数据区是复杂连通区域如存在孔时，可以通过调整方程组(8)绕过非计算区域。当然数据
区的边缘数据点也不能太多，否则会造成矩阵奇异而无法得到准确的解。
上述几种方法用于镜面三维重建，在理想情况下并无实质性区别。但是在基于条纹反射的镜面测量系
统中，相位测量噪声的存在和非等间距分布梯度数据的复杂情况将在很大程度上影响三维重建精度。本文
将通过计算机模拟和实测实验， 针对由条纹反射测量系统获取的梯度数据， 分析不同算法的波面重建精度。